2018版高中数学苏教版选修2-1学案：第一章+常用逻辑用语+1.3.1+量+词+Word版含答案.docxVIP

1．3.1　量　词[学习目标]　1.通过生活和数学中的丰富实例理解全称量词与存在量词的含义，熟悉常见的全称量词和存在量词.2.了解含有量词的全称命题和存在性命题的含义，并能用数学符号表示含有量词的命题及判断其命题的真假性．知识点一　全称量词和全称命题 (1)全称量词：“所有”、“任意”、“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词，并用符号“?”表示．(2)全称命题：含有全称量词的命题称为全称命题．全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为?x∈M，p(x)，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”．知识点二　存在量词和存在性命题(1)存在量词：“有一个”、“有些”、“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词，并用符号“?”表示．(2)存在性命题：含有存在量词的命题称为存在性命题．存在性命题“存在M中的元素x，使p(x)成立”可用符号简记为?x∈M，p(x)，读作“存在M中的元素x，使p(x)成立”．思考　(1)在全称命题和存在性命题中，量词是否可以省略？(2)全称命题中的“x，M与p(x)”表达的含义分别是什么？答案　(1)在存在性命题中，量词不可以省略；在有些全称命题中，量词可以省略．(2)元素x可以表示实数、方程、函数、不等式，也可以表示几何图形，相应的集合M是这些元素的某一特定的范围．p(x)表示集合M的所有元素满足的性质．如“任意一个自然数都不小于0”，可以表示为“?x∈N，x≥0”．题型一　全称量词与全称命题例1　试判断下列全称命题的真假：(1)?x∈R，x2＋20；(2)?x∈N，x4≥1；(3)对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1.解　(1)由于?x∈R，都有x2≥0，因而有x2＋2≥20，即x2＋20，所以命题“?x∈R，x2＋20”是真命题．(2)由于0∈N，当x＝0时，x4≥1不成立，所以命题“?x∈N，x4≥1”是假命题．(3)由于?α∈R，sin2α＋cos2α＝1成立．所以命题“对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1”是真命题．反思与感悟　判断全称命题为真时，要看命题是否对给定集合中的所有元素成立．判断全称命题为假时，可以用反例进行否定．跟踪训练1　试判断下列全称命题的真假：(1)?x∈R，x2＋1≥2；(2)任何一条直线都有斜率；(3)每个指数函数都是单调函数．解　(1)由于?x∈R，都有x2≥0，因而有x2＋1≥1，所以“?x∈R，x2＋1≥2”是假命题．(2)当直线的倾斜角为时，斜率不存在，所以“任何一条直线都有斜率”是假命题．(3)无论底数a＞1或是0a1，指数函数都是单调函数，所以“每个指数函数都是单调函数”是真命题．题型二　存在量词与存在性命题例2　判断下列存在性命题的真假：(1)?x∈Z，x31；(2)存在一个四边形不是平行四边形；(3)有一个实数α，tanα无意义；(4)?x∈R，cosx＝.解　(1)∵－1∈Z，且(－1)3＝－11，∴“?x∈Z，x31”是真命题．(2)真命题，如梯形．(3)真命题，当α＝时，tanα无意义.(4)∵当x∈R时，cosx∈[－1,1]，而1，∴不存在x∈R，使cosx＝，∴“?x∈R，cosx＝”是假命题．反思与感悟　判定存在性命题真假的方法：代入法：在给定的集合中找到一个元素x，使命题p(x)为真，否则命题为假．跟踪训练2　试判断下列存在性命题的真假：(1)?x∈Q，x2＝3；(2)?x，y为正实数，使x2＋y2＝0；(3)?x∈R，tanx＝1；(4)?x∈R，lgx＝0.解　(1)由于使x2＝3成立的数只有±，而它们都不是有理数，因此没有任何一个有理数的平方能等于3，所以命题“?x∈Q，x2＝3”为假命题．(2)因为x0，y0，所以x2＋y20，所以“?x，y为正实数，使x2＋y2＝0”为假命题．(3)当x＝时，tan＝1，所以“?x∈R，tanx＝1”为真命题．(4)当x＝1时，lg1＝0，所以“?x∈R，lgx＝0”为真命题．题型三　全称命题、存在性命题的应用例3　(1)若命题p：存在x∈R，使ax2＋2x＋a0，求实数a的取值范围；(2)若不等式(m＋1)x2－(m－1)x＋3(m－1)0对任意实数x恒成立，求实数m的取值范围．解　(1)由ax2＋2x＋a0，得a(x2＋1)－2x，∵x2＋10，∴a－＝－，当x0时，x＋≥2，∴－≥－1，当x0时，x＋≤－2，∴－≤1，∴－的最大值为1.又∵?x∈R，使ax2＋2x＋a0成立，∴只要a1，∴a的取值范围是(－∞，1)．(2)①当m＋1＝0即m＝－1时，2x－60不恒成立．②当m＋1≠0，则??综上，m－.反思与感悟　有解和恒成立问题是存在性命题和全称命题的应用，注意二者的区别．跟踪训练3　(1)已知关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非