2018版高中数学苏教版选修2-2学案：1.2.3+简单复合函数的导数.docxVIP

1．2.3　简单复合函数的导数学习目标　1.理解掌握复合函数的求导法则.2.能够结合已学过的法则、公式，进行一些复合函数的求导．知识点　复合函数的概念及求导法则已知函数y＝2x＋5＋lnx，y＝ln(2x＋5)，y＝sin(x＋2)．思考1　这三个函数都是复合函数吗？思考2　试说明函数y＝ln(2x＋5)是如何复合的？　　　　思考3　试求函数y＝ln(2x＋5)的导数．　　复合函数的概念一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成________，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝______复合函数的求导法则复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝__________，即y对x的导数等于____________________________类型一　复合函数的概念例1　下列函数是否为复合函数，若是，说明是怎样复合而成的？(1)y＝(2－x2)3；(2)y＝sinx2；(3)y＝cos(－x)；(4)y＝lnsin(3x－1)．　　　　　　　　　反思与感悟　根据复合函数的定义，若是一个复合函数，分清哪个是里层函数，哪个是外层函数，引入中间变量，将复合函数分解成较为简单的函数．跟踪训练1　写出由下列函数复合而成的函数．(1)y＝cosu，u＝1＋x2；(2)y＝lnu，u＝lnx.　　　类型二　求复合函数的导数例2　求下列函数的导数：(1)y＝32x－1；(2)y＝；(3)y＝5log3(1－x)；(4)y＝x2cos(2x－)．　　　　跟踪训练2　(1)若f(x)＝(2x＋a)2，且f′(2)＝20，则a＝________.(2)已知y＝，则y′|x＝1＝________.(3)已知y＝sin3x＋cos3x，则y′＝________________________________________.类型三　复合函数导数的综合应用例3　求曲线y＝在点处的切线方程．　　　　　　反思与感悟　(1)复合函数的导数应用主要有：求在某点处的切线方程，已知切线的方程或斜率求切点，以及涉及切线问题的综合应用．(2)先求出复合函数的导数，若已知切点，则求出切线斜率、切线方程；若切点未知，则先设出切点，用切点表示切线斜率，再根据条件求切点坐标．总之，切点在解决此类问题时起着至关重要的作用．跟踪训练3　设f(x)＝ln(x＋1)＋＋ax＋b(a，b∈R且为常数)，曲线y＝f(x)与直线y＝x在点(0,0)相切．求a，b的值．　　　　　　　　　　　　　　1．函数y＝sin3x是由函数________________复合而成的．2．设f(x)＝e－x则f′(x)＝________.3．函数y＝(1－2x)4在x＝处的导数为________．4．过曲线y＝上一点，使曲线在该点的切线平行于x轴，求切线方程．　　　　　　1．复合函数求导的步骤2．求复合函数的导数的注意点：(1)分解的函数通常为基本初等函数；(2)求导时分清是对哪个变量求导；(3)计算结果尽量简洁．提醒：完成作业　1.2.3答案精析问题导学知识点思考1　函数y＝ln(2x＋5)，y＝sin(x＋2)是复合函数，函数y＝2x＋5＋lnx不是复合函数．思考2　设u＝2x＋5，则y＝lnu，从而y＝ln(2x＋5)可以看作是由y＝lnu和u＝2x＋5，经过“复合”得到的，即y可以通过中间变量u表示为自变量x的函数．思考3　y′＝·(2x＋5)′＝.x的函数　f(g(x))　y′u·u′x　y对u的导数与u对x的导数的乘积题型探究例1　解　(1)y＝(2－x2)3是由y＝u3及u＝2－x2复合而成．(2)y＝sinx2是由y＝sint及t＝x2复合而成．(3)y＝cos(－x)是由y＝cosu及u＝－x复合而成．(4)y＝lnsin(3x－1)是由y＝lnu，u＝sint及t＝3x－1复合而成．跟踪训练1　解　(1)y＝cos(1＋x2)．(2)y＝ln(lnx)．例2　解　(1)函数y＝32x－1看作函数y＝3u与函数u＝2x－1的复合，∴y′＝y′u·u′x＝(3u)′·(2x－1)′＝(2ln3)·3u＝2·32x－1·ln3.(2)y＝＝(2x＋1)－4，函数y＝看作函数y＝u－4与u＝2x＋1的复合．y′＝y′u·u′x＝(u－4)′·(2x＋1)′＝－4u－5×2＝－8(2x＋1)－5＝.(3)函数y＝5log3(1－x)看作函数y＝5log3u与函数u＝1－x的复合．y′＝y′u·ux′＝(5log3u)′(1－x)′＝×(－1)＝.(4)函数t＝cos(2x－)看作函数t＝cosu与u＝2x－的复合．∴[cos(2x－)]′＝(cosu)′(2x－)′＝－2sinu＝－2si