第六章 节 多元函数微积分6.7二重积分的概念与性质.pptVIP

上一页 下一页 目 录 LOGO 6.7 二重积分的概念与性质 一元函数积分学 多元函数积分学 重积分 曲线积分 曲面积分 推广 一、 二重积分的概念 ☆例6.6.2 ☆例6.6.3 ☆例6.6.4 二、 二重积分的性质 三、 内容小结 ★ 作业 ★ 习题解答 ☆例6.6.1 本节内容: 柱体(cylindrical body)体积 =底面积× 高 特点：平顶. 曲顶柱体体积=？ 特点：曲顶(curved vertex surface). １．曲顶柱体的体积(volume) 问题的提出 解法: 类似定积分解决问题的思想: 引例6.7.1 求曲顶柱体的体积 给定曲顶柱体: 底： xOy 面上的闭区域 D 顶: 连续曲面 侧面：以 D 的边界为准线 , 母线平行于 z 轴的柱面 求其体积. “大化小, 常代变, 近似和, 求 极限” 一、 二重积分的概念 1)“大化小” 用任意曲线网分D为 n 个区域 以它们为底把曲顶柱体分为 n 个 2)“常代变” 在每个 3)“近似和” 则 中任取一点 小曲顶柱体 2)“常代变” 中任取一点 3)“近似和” 4)“取极限” 则第 k 小块的质量 两个问题的共性： (1) 解决问题的步骤相同 (2) 所求量的结构式相同 “大化小, 常代变, 近似和,取极限” 曲顶柱体体积: 平面薄片的质量: 二重积分的定义 定义6.7.1 将区域 D 任意分成 n 个小区域 任取一点 若存在一个常数 I , 使 可积 , 在D上的二重积分. 积分和 积分域 被积函数 积分表达式 面积元素 记作 是定义在有界区域 D上的有界函数 , 对定义的几点说明： （3）面积元素 在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D， 故二重积分可写为 D 则面积元素(areal element)为 这时 引例1中曲顶柱体体积: 引例2中平面薄板的质量: （4）二重积分的几何意义 例6.7.1 利用二重积分的几何意义求 的值，其中 是区域 解 由二重积分的几何意义有：由于被积函数 所以 在数值上等于以曲面 为顶，以 为底的曲顶柱体的体积，它实际上是 一个半径为1的上半球体的体积，所以 二重积分存在定理: 若函数 定理2. (证明略) 定理1. 在D上可积. 限个点或有限条光滑曲线外都连续 , 积. 在有界闭区域 D上连续, 则 若有界函数 在有界闭区域 D 上除去有 （补充） 性质6.7.１ （二重积分与定积分有类似的性质） 设 、 为常数，则 二、二重积分的性质 性质6.7.2 （对积分区域具有可加性） 性质6.7.3 若 为D的面积,则 性质6.7.4（不等式性） 若在D上 特殊地 则有 性质6.7.5 性质6.7.6 （二重积分中值定理） （二重积分估值不等式） 证: 由性质5 可知, 由连续函数介值定理, 至少有一点 使 因此 二重积分中值定理的几何意义：在闭区域 上以曲面 为顶的曲顶柱体的体积总可以等于以区域 内某一点 的函数值 为高的平顶柱体的体积. 解 * * 上一页 下一页 目 录 LOGO