第九章 节 常微分方程1-2.ppt

例4 如图所示，平行与 轴的动直线被曲 线 与 截下的线段PQ之长数值上等于阴影部分的面积, 求曲线 . 解 两边求导得 解此微分方程 所求曲线为 一阶线性微分方程的通解也可写成 方程 令 即化为一阶线性微分方程 注 例3. Bernoulli 方程 (??0, 1) 作变换 z=y1??, 则化为线性方程 例如：xy+y=(xlnx)y2 例 5 解 例6 用适当的变量代换解下列微分方程: 解 所求通解为 解 分离变量法得 所求通解为 解 代入原式 分离变量法得 所求通解为 另解 注 利用变量代换将一个微分方程化为变量可分离的方程或化为已知其求解步骤的方程是求解微分方程的一种最常用的思想方法 如 齐次型、可化为齐次型、一阶线性方程 、Bernoulli 方程等. 都是通过变量代换来求解方程的。 将 变换为 也是经常可以考虑的 解： 例： 求微分方程 的通解. 方程整理变形为 求解微分方程的基本方法： 解 原方程化为 原方程的通解为 利用变量代换将所求微分方程化为会解的微分方程。 解 代入原式得 由分离变量法得 得所求通解 例6 解微分方程 例6 解微分方程 另解 *例7 解微分方程 解 由分离变量法得 得所求通解为 4.全微分方程与积分因子 (1)全微分方程（恰当方程） 对于对称形式的一阶微分方程 则称上述微分方程为全微分方程或恰当方程。 (其中P(x,y),Q(x,y)是定义在一个区域D中的光滑函数)，若存在一个可微函数u(x,y),使得 u(x,y)=C是上述全微分方程的通积分，并且包含了方程的一切解。 若P(x, y)、Q(x, y)在单连通 域G内具有一阶连续偏导数，且 全微分方程的判定： 则方程P(x, y)dx+Q(x, y)dy=0是全微分方程。 例如方程 原方程是全微分方程. 解法: ?应用曲线积分与路径无关. 通解为 ? 用直接凑全微分的方法. 其中 x0 , y0 是在G中适当选定的点 M0 (x0 , y0 ) 的坐标，起点坐标选择的不同，至多使u( x, y) 相差一个常数. 例1 求解(5x4+3x y2-y3)dx +(3x2y -3x y2 +y2 )dy=0． 解 这里 所以这是全微分方程．取(x0, y0)?(0, 0)，有 于是，方程的通解为 y x O (x, y) 例1 解 是全微分方程, 原方程的通解为 例2 解 是全微分方程, 将左端重新组合 原方程的通解为 (2)积分因子 a.定义：设方程 不是全微分方程。若存在函数μ(x,y) ≠0, 使得 是全微分方程，则称μ(x,y)为方程的积分因子。 (2)积分因子 b.积分因子满足方程 即 2.可化为变量分离方程的几类方程 (1)对形如 的方程 令z=ax+by+c,则 是z的函数 例： 令z=x+y+2,则 解： (2)对形如 的方程 其中f(x,y)是齐次函数。 即对任意t≠0, f(tx,ty) ≡f(x,y)。 f(x,y)是齐次函数的充要条件是f(x,y)可以写成h(y/x)的函数。 对 改写成 。令u=y/x,即得关于u的变量分离方程 解法：令 即 y=ux 则有 从而 变量可分离： 换元法 变量分离的方程 例 2 求解微分方程 解 微分方程的解为 解 令 则 代入化简 并分离变量 两边积分 换回原变量 或 例4 例 1 求解微分方程 解 微分方程的解为 例 3 抛物线的光学性质 实例: 车灯的反射镜面------旋转抛物面 解 如图 由夹角正切公式得 得微分方程 分离变量 积分得 平方化简得 抛物线 (3)对形如 的方程 其中ai,bi,ci,i=1,2是常数。 当c1=c2=0时,右端是x,y的齐次方程，解法同(2)。 当c1,c2至少有一个不为0时, (i)若 则 有唯一解(x0,y0)。令u=x-