人教26.1二次函数图象及其性质.docVIP

二次函数 ：二次函数：一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的函数，叫二次函数，其中，x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数，一次项系数和常数项. ：y=ax2的图像及其性质 用描点法画出y=x2的图像，（描点法三步骤：列表，描点，连线.分别注意，自变量的取值范围，坐标的表示，按横坐标的顺序把各点用平滑的曲线连接起来）.同样的，用描点法画出y=-x2的图像. 观察图像可理解“抛物线”的概念，同时图像具有对称性，（由于点（m，m2）和它关于y轴的对称点（-m，m2）都在抛物线y=x2上，所以抛物线y=x2关于y轴对称）最高点或最低点，即抛物线和对称轴的交点叫做抛物线的顶点.抛物线y=x2与抛物线y=-x2关于x轴对称. 再在抛物线y=x2所在坐标系中画出函数y=?x2的图像与函数y=2x2的图像，比较共同点和不同点发现，开口都向上，顶点都是原点，但x2的系数越大，抛物线的开口反而越小. 在抛物线y=-x2所在坐标系中画出函数y=-?x2的图像与函数y=-2x2的图像，比较共同点和不同点发现，开口都向下，顶点都是原点，但x2的系数越大，抛物线的开口越大. 总结：一般地，抛物线y=ax2的对称轴是y轴，顶点是原点. a的值互为相反数时，两条抛物线关于x轴对称.（因为抛物线y=ax2上的点（x，x2）与抛物线y=-x2上的点（-x，x2）是关于x轴对称的）|a|的绝对值相同，y=ax2的形状相同. ：y=a（x-h）2+k的图像及其性质 （1）y=ax2+k的图像 用描点法在同一坐标系中画出y=x2+1和y=x2-1的图像，写出抛物线的开口方向、顶点和对称轴，对比y=x2的图像、解析式、函数对应数值表、位置、形状等找出他们之间的关系. 可以发现把y=x2向上平移一个单位就的到抛物线y=x2+1，向下平移一个单位得到抛物线y=x2-1.抛物线的形状相同，对称轴相同（顶点横坐标相同），顶点不同表示成（0，k）与k有关（抛物线y=x2上的点是（x，x2），将各个点纵坐标的数值＋1即（x，x2+1），形成相应的新抛物线y=x2+1就是将抛物线y=x2向上平移一个单位） 把抛物线y=2x2向上平移5个单位，得到y=2x2+5的图像. 总结：抛物线y=ax2+k的图像可由y=ax2的图像上下平移得到，（上+下-）（增减性讨论同上） y=a（x-h）2的图像 用描点法在同一坐标系中画出y=?（x+1）2和y=?（x-1）2的图像，写出抛物线的开口方向、顶点和对称轴，对比y=?x2的图像、解析式、函数对应数值表、位置、形状等找出他们之间的关系. 可以发现把y=?x2水平向左平移一个单位就的到抛物线y=?（x+1）2，水平向右平移一个单位得到抛物线y=?（x-1）2.抛物线的形状相同，对称轴发生变化x=h，与h有关，顶点不同，但顶点纵坐标都为0，可表示为（h，0），（对称轴是经过点（h，0）且与x轴垂直的直线，这条直线上的所有点横坐标都是h，因此记作x=h） 总结：抛物线y=a（x-h）2的图像可由y=ax2的图像左右平移得到，（增减性讨论同上） h0时，向右平移，h个单位长度，h0，向左平移|h|个单位长度（左+右-）. a0时，开口向上，图象除顶点外在x轴上方，a0时，开口向下，图象除顶点外在x轴下方.对称轴是直线x=h,顶点（h，0）. 注意：y=x2-2与y=（x-2）2平移成y=x2的区别. y=a（x-h）2+k的图像 由以上经验，显然，y=a（x-h）2+k可以由y=ax2图像平移得到，平移方法“左加右减，上加下减”.先水平或先垂直均可.（矩形ABCD，从A到C的路径，AB+BC与AD+DC相同） 总结：一般地，抛物线y=a（x-h）2+k与y=ax2形状相同，位置不同，把抛物线y=ax2平移后可以得到抛物线y=a（x-h）2+k，平移的方向、距离由h，k来决定. 当a0时， h＞0 顶点在第一象限 开口向上， k＞0，抛物线在x轴上方 h＜0 顶点在第二象限 函数图象有最高点， k＜0，抛物线与x轴有两个交点 h＞0 顶点在第四象限 函数有最大值 h＜0 顶点在第三象限 当a0时， h＞0 顶点在第一象限 开口向下， k＞0，抛物线与x轴有两个交点 h＜0 顶点在第二象限 函数图象有最高点， k＜0，抛物线在x轴下方