热学教材3-1-6 在计算分子通量的公式中应用类比法的实例.pptVIP

在计算分子通量的公式中应用类比法的实例; 类比法是一种在科学研究中常用的逻辑推理方法。使用类比法时，根据两类对象之间在某些方面的相似或相同，来推出它们在其他方面也可能相似或相同。; 实际上，对于物理学中的某些现象，描述它们的数学表述式有时可能极为相似，此时应用类比推理方法，常常可以绕开复杂的、有时甚至是烦琐的数学演算步骤，比较快捷地得出明晰的物理结果。; 设玻尔兹曼常量为 k，气体的热力学温度为 T，分子质量为 m，根据麦克斯韦速度分布律，在平衡态下，气体分子速度分量 vx的分布函数 f(vx)为 f(vx)=[m/(2?kT)]1/2 ?exp[?mvx2/(2kT)]. (1); 因此，速度分量 vx取值在 vx至 vx+dvx 间隔内的气体分子数占总分子数的比率为 f(vx)dvx. 如果气体分子数密度为 n，那速度分量 vx取值在 vx至 vx+dvx间隔内的气体分子在单位时间内对单位面积器壁的碰撞次数将等于nvxf(vx)dvx[1]。;J=?0?nvxf(vx)dvx =?0?n[m/(2?kT)]1/2vx  ?exp[?mvx2/(2kT)]dvx =n[kT/(2?m)]1/2. (2); 可是根据麦克斯韦速率分布律，在平衡态下，气体分子速率 v 的分布函数f(v)为 f(v)=4?[m/(2?kT)]3/2v2 ?exp[?mv2/(2kT)]. (3); 由(3)式可知气体分子的平均速率 u 为 u=?0?vf(v)dv =?0?4?[m/(2?kT)]3/2v3 ?exp[?mv2/(2kT)]dv =[8kT/(?m)]1/2. (4);利用(4)式可以把(2)式化为 J=(n/4)u =(n/4)?0?vf(v)dv =?0?(n/4)vf(v)dv. (5); 由(2)和(5)式可得?0?nvxf(vx)dvx=J  =?0?(n/4)vf(v)dv. (6); 在以上导出(2)式的过程中，nvxf(vx)dvx 表示速度分量 vx 取值在 vx 至 vx+dvx 间隔内的气体分子在单位时间内对单位面积器壁的碰撞次数，把nvxf(vx)dvx在从0到?的区间内积分，就能得到分子通量J. ; 而从(6)式可以看出：式中的两个积分内的被积函数nvxf(vx)dvx和(n/4)vf(v)dv的地位相当，它们的物理意义相似，因而在这两者之间可以进行类比推理。 ; 现在既然(n/4)vf(v)dv在从0到?的区间内积分，也能得到分子通量 J. 可见 (n/4)vf(v)dv就表示速率取值在 v到 v+dv间隔内的气体分子在单位时间内对单位面积器壁的碰撞次数。据此处理某些相关问题，有时往往会比较简捷。; 例如，如果需要计算在平衡态下，速率大于任意一个给定值 v 的气体分子在单位时间内对单位面积器壁的碰撞次数（即速率大于任意一个给定值 v 的分子通量）Jv~? 时，首先 ;需要导出速率取值在 v到 v+dv 间隔内的气体分子在单位时间内对单位面积器壁的碰撞次数等于(n/4)vf(v)dv，相关的推导步骤比较多。 ; 可是如果将 (n/4)vf(v)dv与nvxf(vx)dvx进行类比，那就无需再去逐步推导，可以直接写出 (n/4)vf(v)dv ，认为它正是速率取值在v到v+dv 间隔内的气体分子在;单位时间内对单位面积器壁的碰撞次数，而只需要把它在从 v 到 ? 的区间内积分就行了，即 Jv~?=?v?(n/4)vf(v)dv. (7); 将(3)式代入(7)式计算，就能得到 Jv~?=?v?(n/4)4?  ?[m/(2?kT)]3/2v3 ?exp[?mv2/(2kT)]dv =n[kT/(2?m)]1/2 ?{1+[mv2/(2kT)]} ?exp[?mv2/(2kT)]. (8); 又如，可以导出利用分子泻流现象产生的分子束（分子射线）里的气体分子的速率分布函数 fb(v) 的具体形式。实际上，分子泻流现象产生的分子束，在同位素分离技术和许多著名的物理实验里都有重要的应用[2]。 ;[2] 瑞夫 F. 统计物理学.  伯克利物理教程. 第五 卷. 周世勋，徐正惠， 龚少明译. 北京：科学 出版