简单三角恒等变换(二).pptVIP

纽绅中学 　　求函数y=2sin(3x+　 )的周期，最大值及单调区间. 4 ? 　　解：T＝　 ＝　 ω 2? 3 2? 由A＝2 ，所以ymax=2． 　　函数y=2sin(3x+　 )在区间[-　+　　,　+ 　]上是增函数，在区间[　+　　，　+　　]上是减函数，K∈Z． 4 ? 3 2k? 4 ? 3 2k? 12 ? 12 ? 3 2k? 12 5? 3 2k? 　　函数y=asinx+bcosx (a，b∈R，a2+b2≠0)，则函数y的最大值是________，最小值为_________． a2+b2 √ a2+b2 √ - 解： y=acosx+bsinx =　　　(　　　 cosx+　 　　 sinx) a2+b2 √ a a2+b2 √ b a2+b2 √ 设sinω=　 　　 ，cosω= b a2+b2 √ a a2+b2 √ 所以 y=　　　sin(x＋ω) a2+b2 √ =　　　sin(x＋ω) a2+b2 √ 辅助角公式： asinx+bcosx 　　例：求函数 y =sinx + 　 cosx 的周期，最大值和最小值． √ 3 　　分析：利用三角函数恒等变换，先把函数式化简，再求相应的值. 　　解：y=sinx+　 cosx √ 3 =2(　sinx+　 cosx ) 2 1 √ 3 2 3 π =2(sinx cos　+cosx sin　) 3 π 3 π =2sin(x+　) 所以，所求周期为2π，最大值为2，最小值为-2. 求此函数的单调区间. 　　1．求函数y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的周期，最大值和最小值． 　　解：y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x =(sin2x+cos2x)+2sinxcosx+2cos2x-1+1 =sin2x+cos2x+2 =　 (　 sin2x+　 cos2x)+2 √ 2 √ 2 2 √ 2 2 =　 sin(2x+　 )+2 √ 2 4 ? 所以周期为π，最大值为2+　 ，最小值为2-　 ． √ 2 √ 2 　　2．函数y=3sinx-4cosx，则函数y的最大值是______，最小值为_______． 5 -5 则y=3sinx-4cosx 解： 32+42 √ =5 =5(　sinx-　 cosx) 5 4 5 3 设sinω=　 ，cosω= 5 4 5 3 所以y=5sin(x-ω) 　　抓住角度之间的联系，通过拆角、凑角等途径，进行角度之间的转换 　　3．设函数y=acosx+b(a，b是常数)的最大值为1，最小值为-7，则acosx+bsinx的最小值为_____． -5 　　解：a=4，b=-3． 则acosx+bsinx=4cosx-3sinx =5(　cosx-　 sinx) 5 4 5 3 设sinω=　 ，cosω= 5 3 5 4 所以原式=5sin(x-ω) 　　4．函数f (x)=3sinxcosx-4cos2x的最大值是____． 0.5 　　解：f (x)=3sinxcosx-4cos2x =1.5(2sinxcosx)-2(2cos2x-1)-2 =1.5sin2x-2cos2x-2 =2.5sin(2x-ω)-2 其中sinω=　 ，cosω= 5 3 5 4 　　求下列函数的最小正周期，递增区间及最大值： 　　(1) y=sin2xcos2x； 　　(2) y=2cos2　+1； 2 x 　　(3) y=　3 cos4x+sin4x； √ 解： (1) y =　sin4x，所以最小正周期为　， 2 1 2 π 最大值为　． 2 1 递增区间为[-　＋　 ，　＋　 ] (k∈Z)； 8 π 2 kπ 2 kπ 8 π 课堂巩固： 　　(1) y=sin2xcos2x； 　　(2) y=2cos2　+1； 2 x 　　(3) y=　3 cos4x+sin4x； √ 递增区间为[π＋2kπ，2π＋2kπ] (k∈Z)； 解： (2) y =cosx+2，所以最小正周期为2π， 最大值为3． 　　求下列函数的最小正周期，递增区间及最大值： 　　(1) y=sin2xcos2x； 　　(2) y=2cos2　+1； 2 x 　　(3) y=　3 cos4x+sin4x； √ 最大值为2． 递增区间为[