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第三章 空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算（一）教学过程：Ⅰ.复习引入［在必修四第二章《平面向量》中，我们学习了有关平面向量的一些知识，什么叫做向量？向量是怎样表示的呢？学习了向量的有关概念以后，我们学习了向量的加减以及数乘向量运算：⒈向量的加法：⒉向量的减法：⒊实数与向量的积：　　　　实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和方向规定如下：　　　　　(1)|λa|＝|λ||a|　　　　　(2)当λ＞0时，λa与a同向；　　　　　　 当λ＜0时，λa与a反向；　　　　　　 当λ＝0时，λa＝0.向量加法和数乘向量满足以下运算律　　　　　加法交换律：a＋b＝b＋a　　　　　加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋（b＋c）　　　　　数乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λbⅡ.新课讲授如同平面向量的概念，我们把空间中具有大小和方向的量叫做向量．例如空间的一个平移就是一个向量．那么我们怎样表示空间向量呢？相等的向量又是怎样表示的呢？与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．由以上知识可知，向量在空间中是可以平移的．空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示．因此我们说空间任意两个向量是共面的．空间向量的加法、减法、数乘向量的定义与平面向量的运算一样：=a+b，（指向被减向量），λa　　空间向量加法与数乘向量有如下运算律：　　　　⑴加法交换律：a + b = b + a；　　　　⑵加法结合律：(a + b) + c =a + (b + c)；（课件验证）　　　　⑶数乘分配律：λ(a + b)=λa +λb．空间向量加法的运算律要注意以下几点：⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．即：因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量．⑵首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量．即：．⑶两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然成立．因此，求始点相同的两个向量之和时，可以考虑用平行四边形法则．例１已知平行六面体（如图），化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：　　　　2. 如图，平行六面体中，点为与的的交点，，，，则下列向量中与相等的是（）A. B. C. D. 空间向量及其运算（2）（二）新课讲解：1．共线（平行）向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。读作：平行于，记作：．2．共线向量定理：对空间任意两个向量的充要条件是存在实数，使（唯一）．推论：如果为经过已知点，且平行于已知向量的直线，那么对任一点，点在直线上的充要条件是存在实数，满足等式①，其中向量叫做直线的方向向量。在上取，则①式可化为或②当时，点是线段的中点，此时③①和②都叫空间直线的向量参数方程，③是线段的中点公式．3．向量与平面平行：已知平面和向量，作，如果直线平行于或在内，那么我们说向量平行于平面，记作：．通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量．说明：空间任意的两向量都是共面的．4．共面向量定理：如果两个向量不共线，与向量共面的充要条件是存在实数使．推论：空间一点位于平面内的充分必要条件是存在有序实数对，使或对空间任一点，有①上面①式叫做平面的向量表达式．（三）例题分析：例1．已知三点不共线，对平面外任一点，满足条件，试判断：点与是否一定共面？解：由题意：，∴，∴，即，所以，点与共面．说明：在用共面向量定理及其推论的充要条件进行向量共面判断的时候，首先要选择恰当的充要条件形式，然后对照形式将已知条件进行转化运算．【练习】：对空间任一点和不共线的三点，问满足向量式 （其中）的四点是否共面？解：∵，∴，∴，∴点与点共面．例2．已知，从平面外一点引向量，（1）求证：四点共面；（2）平面平面．解：（1）∵四边形是平行四边形，∴，∵，∴共面；（2）∵，又∵，∴所以，平面平面．作业课时作业(十七)　空间向量的数乘运算A组　基础巩固1．若a与b不共线，且m＝a＋b，n＝a－b，p＝a，则(　　)A．m、n、p共线 B．m与p共线C．n与p共线 D．m、n、p共面解析：由于(a＋b)＋(a－b)＝2a，即m＋n＝2p，即p＝m＋n，又m与n不共线，所以m，n，p共面．答案：D2．在平行六面体ABCD－EFGH中，若＝x－2y＋3z，则x＋y＋z等于(　　)A.　B.C. D．1解析：＝＋＋，则x＝1，y＝－，z＝，故选C.答案：C3．如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的向量是(　　)A．－a＋b＋c B.a＋b＋cC.a－b＋c D．－a－b＋c解析：＝＋＝＋＝＋(－)＝－a＋b＋