学生建模报告：购物问题.docVIP

数学建模 ——购物问题 小组成员：刘鹏昊（20031090061） 王清刚（20031090063） 周连杰（20031090064） 购物问题 背景内容：人们常往何处购物？如果我们在一段时间观察某一地区居民的购物路径，能否建立一个描述居民购物方式的模型呢？这一模型可能用来预测有关发展计划的前景或者进行交通管制的依据。 提出问题：已知与购物消费有关的物质和经济数据，求出购物模式。 设想将一个居民区分成若干个社区（设为n个），每一社区都有一定数量的居民和购物点，仅考虑地理位置、人口数和经济因素。 问题分析：涉及的因素可能有：人口数、距离、商店类型、交通工具、路途花费和购物习惯等。是什么原因使人们选择到一个特定的社区去购物呢？在于商店的数量和交通是否便利，制约元素在于距离、路途花费和时间。 建立模型所涉及的因素由表1列出。 对象 类型 符号 单位 第i个社区的人口 参数 Pi 整数 社区与社区j间的距离 参数 di,j 英里 i社区的商店数 参数 Ni 整数 从i地到j地的购物次数 变量 Xi,j 整数 其中i,j=1,2,3…,n 模型假设： Xi,j正比于Pi (i社区居民越多，从该社区外出购物的次数越多)。 Xi,j正比于Nj（j社区商店越多，被吸引来的顾客越多）。 Xi,j随di,j的增大而减少（远距离将会打消顾客前去购物的念头）。 建立模型：前两条容易用数学语言描述，而假设3可以有以下可能的选择形式： （1）Xi,j∝1/di,j； （2）Xi,j∝1/d2i,j； （3）Xi,j∝1/ dɑi,j其中α是参数； （4）Xi,j∝exp(-βdi,j),其中β是参数。 一般来说，距离的影响十分显著，以致xi,j随di,j下降的速率比反比模型（1）更快。利用更一般的形式（3）（4）建立的模型，可根据特殊情况对参数加以调整，通常的值选在1.5―3间最合适 。 为了简便期间，我们采用负二次方模型（2），把它与假设1、假设2结合起来得 Xi,j∝PiNj/d2i,j. Xi,j =KPiNj/d2i,j. K是比例系数 数学求解：如果已确定参数K的值，就能计算出实际次数Xi,j。但在资料不足的情况下只能计算居民购物次数的百分比。 对所有的i,j计算PiNj/d2i,j， 并求和 S=∑i∑jPiNj/d2i,j， 再计算购物次数的百分比 (PiNj/d2i,j)/S=(PiNj/d2i,j)/(∑i∑jPiNj/d2i,j) 实例分析:表2给出了一个居民区中三个社区中心间的距离以及各个社区内平均购物行程。表3给出了人口及商店分布情况 表2购物距离 到A 到B 到C 从A 2 7 5 从B 7 3 4 从C 5 4 3 表3 人口及商店分布情况 社区 A B C 居住人口数 5800 9400 10600 商店个数 22 80 220 利用以上模型计算居民的购物活动情况。运算结果见表4和表5 表4 PiNj/d2i,j的值 PiNj/d2i,j 22 80 220 Pi N1 N2 N3 5800 31900 9469 51040 9400 4200 83556 129250 10600 9328 53000 259111 表5 购物次数百分比 从A 从B 从C 总计 到A 0.0506 0.0067 0.0148 0.0721 到B 0.0150 0.1324 0.0840 0.2314 到C 0.0809 0.2049 0.4107 0.6965 结果分析：用以上的模型预测，在该居民区大约有7％的购物活动在A社区进行，23%在B社区，70％在C社区。 如果已确定参数K的值，就能计算出实际次数Xi,j。如果考虑相对不同的社区设置不同的K值，模型会更实际。例如，若三个社区人均收入差异显著，我们认为越富足的地区，人们在购物方面的花费越多，可对表中的三行分别设K1,K2,K3来反映不同的消费能力，当然必须平均收入方面的数据。 针对购物问题可以考虑用购物时间或费用取代社区间的距离，对于商店数目多少对顾客产生的吸引力，也可以由不同种类商店的个数、规模、停车场的大小或者这几方面的综合影响来取代，从而建立起更完善的模型。 参考文献：《城市运筹学模型》