学生建模报告：高跟鞋问题.docVIP

高 跟 鞋 的 高 度 选 择 摘要： 我们研究的问题是已知人的身高和黄金分割系数求解符合条件的高跟鞋的鞋高，该模型是双目标模型，即使得人在穿上高跟鞋之后既能达到美观的效果，同时又能让双脚感到舒适。首先可将舒适度作为约速条件，将穿上高跟鞋后人的黄金分割系数尽可能接近黄金分割率作为目标函数，于是便把这个双目标模型转化成单目标模型，然后我们对人穿上高跟鞋后的脚进行受力分析，得到约束条件的函数表达式，从而对此优化模型进行求解。最后我们给定一个具体身高和黄金分割系数便可求得符合条件的高跟鞋的高度。 关键词：黄金分割率，黄金分割系数，舒适度 一 问题的提出 如今走在大街上，我们会发现越来越多的女孩子穿着高跟鞋，为什么会有这么多的女孩子如此痴迷高跟鞋呢？人在穿上高跟鞋后，会很自然的重心前移，保持抬头挺胸的姿势，看起来非常有精神。由于女性穿高跟鞋后身材更接近“黄金分割率”，在视觉上给人以美感度上已经成为现代职业女性的标准符号。但也成为职业女性健康的潜在杀手之一符合人体力学原理，长期穿高跟鞋，不但会使女性的脚部受到损伤，还会发生腰酸背痛等症状。鞋跟多高合适 于是问题的关键在于确定鞋跟高与人的脚掌受力的关系。 接下来我们对人脚掌受力作分析 经观察我们可以假设整个脚掌的受力集中于点A点，DA=C2/4，脚后跟的所受力集中于B点，距脚后跟C点为C2/8。且有高跟鞋的两段分别c2/3， 2*c2/3 以脚尖作为原点D，水平线作为x轴。(如图1所示) 图1 图 图 给出脚的近似框架（如图2所示） 鞋对脚掌的力为：f1 鞋对脚后跟的力为:f 对力f做分解，分解成竖直方向的力f2和沿鞋斜面的力f3; 根据竖直方向力的平衡原理为：f1+ f2=G/2 图2 现在我们来寻找另一个平衡；力距平衡。 支点的确立：我们可以将人的质点在脚上的投影点O作为支点，即认为人对脚的力是由O点产生的。 关键是来确定质点的位置与鞋跟高的关系，设O点坐标为x 根据查找资料可得：为高跟鞋的坡度。 A穿平底鞋时即 h=0, =0时，f1=40%*G/2,f2=60%*G/2, 根据力矩平衡f1*（x- c/4）=( c- c/8-x)* f2 解得x=5*c/8 B另一个极端点即=时，这时不妨设人的所有力全落在脚掌上，脚后跟不受力，则根据力矩平衡只有O点与A点重合才能保证f1=G/2，f2=0，所以x=c/3. 利用以上条件我们试图构造出x与 的函数关系，又根据穿高跟鞋的经验，鞋跟越高，人的重心就会往前移，即x是的单减函数——x对的导数小于0；另一方面随着的变大，x的变化率变大，因此x的的二阶导数大于0; 综上所述我们便可将函数设为：x=-A* sin+B ( ) 将=0,x=5*c/8; =,x= c/3;代入得到A=3* c/8，B=5* c/8 所以x=-3* c/8* sin+5* c/8 ① 确定了质点的位置O，以O点为支点，现在来分析力矩。 当xO c/3时,将xO代入①式得到 sin7/9, 则h14*c/27.考虑到实际情况若脚长c=24cm,便有h12.4,可见鞋跟过高不符合实际，因此我们只考虑xO c/3的情况。 受力分析图可以完善为图3 图3 因为f3的存在脚要保持平衡，那么脚还受到鞋子对它的另一个力，方向与f3相反。 因此竖直方向力平衡：f1+ f2=G/2 在支点力矩平衡，分析发现f3的力矩为0，故f3不在我们考虑范围之内,从而根据力矩平衡有： f1×l1=f2×l2 其中l1=AE=DE-DE=x-c/4=-3/8csin+3/8c2 l2=EF=()- 经过对上式的分析可以发现f1随着的增大而增大。 当f1= f2=G/4时，人感觉最舒服，此时有l1= l2，便可以得到此时的，很自然便可以得到此时的鞋跟高 h0。 当f1=65%*G/2, f2=35%*G/2是人可以忍受的，当f165%*G/2时人便会感到不适，因此我们可以求出当f1=65%*G/2, f2=35%*G/2时的鞋跟高h1. 综上所述我们便得到鞋跟高满足舒适这一限制的区间[0，h1] 于是模型转化为；min 0.618- (s0*l+h)(l+h) s.t h [0，h1] 五 模型的建立 因为我们是在能承受的力的限制这一条件下来选择鞋高,使得人穿上鞋后能尽量接近黄金分割率,并由模型的分析中得到了脚掌所受的力的大小与人的重力的关系，因此我们将脚掌所受的力的大小做为约束条件，将穿鞋后从肚脐到地面的距离与头顶到地面的距离之比与黄金分割率的差值视为目标函数，目标是使他们