由巳知分布的随机抽样 蒙特卡罗方法 技术方案.ppt

当取 时，抽样效率最高 这时，乘加抽样方法为： ≤ 由于 可知第一种方法比第二种方法的抽样效率高。 例19. 光子散射后能量分布的抽样 令光子散射前后的能量分别为 和 （以 m0c2 为单位，m0为电子静止质量，c 为光速）， ， 则 x 的分布密度函数为： 该分布即为光子散射能量分布，它是由著名的Klin－Nishina 公式确定的。其中 K(α) 为归一因子： 把光子散射能量分布改写成如下形式： 在［1, 1+2α］上定义如下函数: 则有 使用乘加抽样方法： 光子散射能量分布的抽样方法为： 该方法的抽样效率为： ＞ ＞ ＞ ≤ ≤ ≤ 乘减分布的形式为： 其中H1(x) 、H2(x)为非负函数，f1(x)、f2(x) 为任意分布密度函数。 与减抽样方法类似，乘减分布的抽样方法也分为两种。 乘减抽样方法 （1）将 f (x) 表示为 令H1(x)的上界为M1， 的下界为m，使用乘抽 样方法得到如下乘减抽样方法： （2）将 f (x) 表示为 令H2(x)的上界为M2，使用乘抽样方法，得到另一种乘减抽样方法： 例20. 裂变中子谱分布抽样 裂变中子谱分布的一般形式为： 其中A，B，C，Emin，Emax 均为与元素有关的量。令 其中λ为归一因子，γ为任意参数。 相应的 H1(E)，H2(E) 为： 于是裂变中子谱分布可以表示成乘减分布形式: 容易确定 H1(E) 的上界为： 为提高抽样效率，应取γ使得M1 达到最小，此时 取 m＝0，令 则裂变中子谱分布的抽样方法为: 抽样效率 ＞ ≤ 对称分布的一般形式为： 其中 f1(x) 为任意分布密度函数，满足偶函数对称条件，H(x) 为任意奇函数，即对任意x满足： 对称分布的抽样方法如下：取η=2ξ－1 对称抽样方法 ≤ 证明： 因为η=2ξ－1，η≤x 相当于ξ≤ ，因此 例21. 质心系各向同性散射角余弦分布抽样 在质心系各向同性散射的假设下，为得到实验室系散射角余弦，需首先抽样确定质心条散射角余弦： 再利用下面转换公式: 得到实验室系散射角余弦μL。其中A为碰撞核质量，θC、θL 分别为质心系和实验室系散射角。 证明： 抽样效率为：E=1/M 为了实现某个复杂的随机变量 y 的抽样，将其表示成若干个简单的随机变量 x1，x2，…，xn 的函数 得到 x1，x2，…，xn 的抽样后，即可确定 y 的抽样，这种方法叫作替换法抽样。即 替换抽样方法 例11. 散射方位角余弦分布的抽样 散射方位角φ在［0,2π］上均匀分布，则其正弦和余弦sinφ和cosφ服从如下分布： 直接抽样方法为： 令φ=2θ，则θ在［0,π］上均匀分布，作变换 其中0≤ρ≤1，0≤ρ≤π，则 (x,y) 表示上半个单位圆内的点。如果 (x,y) 在上半个单位圆内均匀分布，则θ在［0,π］上均匀分布，由于 因此抽样sinφ和cosφ的问题就变成在上半个单位圆内均匀抽样 (x,y) 的问题。 为获得上半个单位圆内 的均匀点，采用挑选法，在 上半个单位圆的外切矩形内 均匀投点（如图）。 舍弃圆外的点，余下的就是所要求的点。 抽样方法为： 抽样效率 E=π/4≈0.785 为实现散射方位角余弦分布抽样，最重要的是在上半个单位圆内产生均匀分布点。下面这种方法，首先在单位圆的半个外切正六边形内产生均匀分布点，如图所示。 于是便有了抽样效率更高的抽样方法： 抽样效率 ≤ 例12. 正态分布的抽样 标准正态分布密度函数为： 引入一个与标准正态随机变量X独立同分布的随机变量Y，则（X,Y）的联合分布密度为： 作变换 则（ρ,φ）的联合分布密度函数为： 由此可知，ρ与φ相互独立，其分布密度函数分别为 分别抽取ρ，φ ： 从而得到一对服从标准正态分布的随机变量X和Y： 对于一般的正态分布密度函数 N(μ,σ2) 的抽样，其抽样结果为： 例13. β分布的抽样 β