第三节 积分变换在解定解问题中的应用.pptVIP

§5.3　积分变换在解定解问题中的应用 一、傅氏变换解定解问题： 二、拉氏变换解定解问题 习 题 数学物理方程 第五章　积分变换法 No. * 第三节 积分变换在解定解问题中的应用 运用积分变换法求解定解问题时，首先依据定解问题，选择适当的变换。选择变换的原则主要是： （1）自变量的变化范围； （2）定解条件的形式。 用积分变换法求解定解问题步骤： 1）选择适当的积分变换，对方程取积分变换； 2）对定解条件取积分变换； 3）求常微分方程的解，即为原定解问题的变换； 4）对所得解取逆变换，得原定解问题解。 例1　求解热传导方程的初值问题 的基本解。 解：由第四章第三节知：只需求解 对方程及初始条件取关于x的傅氏变换，记 F F 利用傅立叶变换的微分性质，得 这是常微分方程的初值问题，其解为 为求原定解问 题解，再对 进行傅氏逆变换。利用卷积性质，由于 F 故 为一维热传导方程的基本解。 例2 解： 对x作傅氏变换 记 对方程和初始条件关于x取傅氏变换，有 下面求解常微分方程的初值问题 因为 两边积分（从0—t），得 于是 再对 进行傅氏逆变换 F F F F 所以 例3　半无界问题 解:　将边界条件齐次化 令 则　 满足 将初始条件作奇延拓，得 构成无界域上的热传导方程的初值问题 由例1结果，得 故 例4　无界弦振动方程的初值问题 解　对x作傅氏变换，记 F 得 下面求解常微分方程的初值问题： 特征方程： 通解： 由初始条件　得 解得 所以 再求 的傅氏逆变换，利用位移性质和延迟性质，可得 F F F 因此，解为 步骤： 1）对定解问题进行拉氏变换； 2）解相应常微分方程问题； 3）求反演。 例1　半无界波动方程的混合问题 解：对方程及边界条件取关于t的拉氏变换， 有 其通解为 L L 记 利用边界条件得 故 1）当 L L 求 的逆变换，利用延迟性质 L 有 于是 由 ，可得 L 利用延迟性质，其逆变换为 2）当 L 例2　无界电报方程的混合问题 其中 解： 根据问题的求解域及定解条件，应取关于t的拉氏变换，记 L L 对方程及边界条件取关于t的拉氏变换： 其中 ，即有 通解为 由V 的有界性，得 由 ,得 因此 利用延迟性质，其逆变换为 L L 由上面的例题可以看出，对积分变换的选择要根据问题的不同和求解的方便，通常对于无界的初值问题，经常采用傅氏变换（针对空间变量），而对于带边界的定解问题，经常采用拉氏变换（针对时间变量），总之积分变换是求解定解问题的有力工具。 数学物理方程 第五章　积分变换法 No. * 第三节 积分变换在解定解问题中的应用