1.3行列式的定义.pptVIP

1.1 1.1 * * 中南大学数学学院 引 言 线性代数是高等学校理工科等各学科的一门重要基础课程； 线性代数是研究有限维空间线性理论和线性变换的数学分支，通过这些理论把线性代数渗透到数学的许多分支中； 《线性代数 》 线性代数在许多科学技术领域中有着广泛的 应用，如信息技术及计算机技术、工程数值 计算的领域。 由于计算机的飞速发展和广泛应用，使许多实际问题可以通过离散化的数值计算得到定量的解决.于是作为处理离散问题的线性代数，成为从事科学研究和工程设计的科技人员必备的数学基础. 线性代数内容包括： 矩阵; n 阶行列式; n 维向量与线性方程组; 矩阵的对角化； 二次型； 线性空间； 线性变换。 主要教学 参考书 同济大学编 线性代数 行列式是研究线性代数的一个重要工具，近代被广泛运用到理工科各个领域，特别在工程技术和科学研究中，有很多问题需要用到“行列式”这个 数学工具。 主要讨论如下几个问题： 1、行列式的概念及性质； 2、行列式的计算； 3、Laplace 展开定理； 4、Cramer 法则求解方程组。 §1.3 n 阶行列式 §1.3.1 n 阶行列式 定义（二阶行列式）称 为二阶行列式 二阶行列式是数, 它是 2! 项的代数和. 类似地,定义三阶行列式为 排列与逆序数 前 n 个自然数 , 按着一定的 顺序排成一排, 称为 n 阶排列. 例如 一般地 定义1 n ( n ) 阶排列 注 ① 不一定是前 n 个　 　 ② 不同的n 阶排列共有 n ! 个 定义2 (逆序与逆序数) 一个n 阶排列中逆序的个数称为这个n 阶排列 的逆序数,记为 例如: 设 是一个 n 阶排列, 若 则称 但 构成一个逆序. 定义 3 (偶排列与奇排列) 逆序数为偶数的排列称为偶排列, 逆序数为奇数的排列称为奇排列. 定义 4 (对换) 在一个 n 阶排列中, 交换两个数的位置, 而其他数的位置保持不变, 则称这种操作为 对这个n 阶排列 施行了一次对换. 若交换的是第 i 个位置和第 j 个位置的数, 可记为 对换的性质 (1) 对排列中的两个数连续实行两个相同的 对换, 排列不变 (2 ) n ! 个n 阶排列在同一个对换下, 两两配 对, 由一个变成另一个. (3) 对 n 阶排列施行一次对换 , 排列的奇偶 性改变 (4) 时, 奇排列与偶排列的个数相同, 都为 定理　一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性． 证明 设排列为 对换 与 除 外，其它元素的逆序数不改变. 当 时， 的逆序数不变; 经对换后 的逆序数增加1 , 经对换后 的逆序数不变 ， 的逆序数减少1. 因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性. 设排列为 当 时， 现来对换 与 次相邻对换 次相邻对换 次相邻对换 所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变 奇偶性. 定义 个数排成一个n行 n 列的正方形表 称为 n 阶行列式, 其中, 是 的一个排列, 表示对所有可能的 n 阶排列求和. 所有取自这个表中不同行不同列的 n 个元素 的乘积 的代数和 (3) n 阶行列式记为 例如：二阶行列式