高考数学总复习经典测试题解析版8.8立体几何中的向量方法(Ⅱ)-求空间角、距离.docVIP

8.8 立体几何中?的向量方法?（Ⅱ）----求空间角、距离 一、选择题 1．如图所示，在正方体A?BCD-A1B1C?1D1中，O是底面正?方形ABC?D的中心，M是D1D?的中点，N是A1B?1上的动点?，则直线NO?、AM的位置?关系是(　　)．A．平行 B．相交 C．异面垂直 D．异面不垂直? 解析　建立坐标系?如图，设正方体的?棱长为2，则A(2,0,0)，M(0,0,1)，O(1,1,0)，N(2，t,2)，＝(－1,1－t，－2)，＝(－2,0,1)，·＝0，则直线NO?、AM的位置关系是?异面垂直． 答案　C ．正方体AB?CD-A1B1C?1D1的棱?长为a，点M在AC?1上且＝，N为B1B?的中点，则||为(　　)． A.a B.a C.a D.a 解析　以D为原点?建立如图所?示的空间直?角坐标系D?-xyz，则A(a,0,0)，C1(0，a，a)，N. 设M(x，y，z)，点M在AC?1上且＝， (x－a，y，z)＝(－x，a－y，a－z) x＝a，y＝，z＝.得M， ||＝ ＝a. 答案　A ．在正方体A?BCD-A1B1C?1D1中，M、N分别为棱?AA1和B?B1的中点?，则sin〈，〉的值为(　　)． A. B. C. D. 解析　设正方体的?棱长为2，以D为坐标?原点，DA为x轴?，DC为y轴?，DD1为z?轴建立空间?直角坐标系(如图)，可知＝(2，－2,1)，＝(2,2，－1)， cos〈，〉＝－，sin〈，〉＝， 答案　B ．两平行平面?α，β分别经过?坐标原点O?和点A(2,1,1)，且两平面的?一个法向量?n＝(－1,0,1)，则两平面间?的距离是(　　) A. B. C. D．3 解析 两平面的一?个单位法向?量n0＝，故两平面间?的距离d＝|·n0|＝. 答案　B ．已知直二面?角α-l-β，点Aα，ACl，C为垂足，点Bβ，BDl，D为垂足，若AB＝2，AC＝BD＝1，则CD＝(　　)． A．2 B. C. D．1 解析　如图，建立直角坐?标系D-xyz，由已知条件B(0,0,1)，A(1，t,0)(t＞0)，由AB＝2解得t＝. 答案　C ．正方体AB?CDA1B1C?1D1中，E是棱BB?1中点，G是DD1?中点，F是BC上?一点且FB?＝BC，则GB与E?F所成的角?为(　　)． A．30° B．120° C．60° D．90° 解析　如图建立直?角坐标系D?-xyz， 设DA＝1，由已知条件? G，B，E，F， ＝，＝ cos〈，〉＝＝0，则. 答案　D ．如图，在直三棱柱?ABC－A1B1C?1中，ACB＝90°，2AC＝AA1＝BC＝2.若二面角B?1－DC－C1的大小?为60°，则AD的长?为(　　) A. B. C．2 D. 解析 如图，以C为坐标?原点，CA，CB，CC1所在?的直线分别?为x轴，y轴，z轴建立空?间直角坐标?系，则C(0,0,0)，A(1,0,0)，B1(0,2,2)，C1(0,0,2)，D(1,0,1) 设AD＝a，则D点坐标?为(1,0，a)，＝(1,0，a)，＝(0,2,2)， 设平面B1?CD的一个?法向量为m?＝(x，y，z)． 则，令z＝－1， 得m＝(a,1，－1)，又平面C1?DC的一个?法向量为n?(0,1,0)， 则由cos?60°＝，得＝，即a＝，故AD＝. 答案：A 二、填空题 ．已知正方体?ABCD－A1B1C?1D1的棱?长为1，点P在线段?BD1上．当APC最大?时，三棱锥P－ABC的体?积为___?_____?． 解析 以B为坐标?原点，BA为x轴?，BC为y轴?，BB1为z?轴建立空间?直角坐标系?(如图)，设＝λ，可得P(λ，λ，λ)，再由cos?APC＝可求得当λ?＝时，APC最大?，故VP－ABC＝××1×1×＝. 答案 ．如图，在空间直角?坐标系中有?棱长为a的?正方体AB?CD－A1B1C?1D1，点M是线段?DC1上的?动点，则点M到直?线AD1距?离的最小值?为____?____． 解析 设M(0，m，m)(0≤m≤a)，＝(－a,0，a)，直线AD1?的一个单位?方向向量s?0＝，由＝(0，－m，a－m)，故点M到直?线AD1的?距离d＝＝＝，根式内的二?次函数当m?＝－＝时取最小值?2－a×＋a2＝a2，故d的最小?值为a. 答案 a 10．若向量a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1,2)且a与b的?夹角的余弦?值为，则λ＝_____?___. 解