第2章 命题逻辑4.pptVIP

1.6 推 理 理 论 推理是前提结论的思维过程。 在命题逻辑中， 前提是已知的命题公式， 结论是从前提出发应用推理规则推出的命题公式。 在传统数学中定理的证明均是由前提（已知条件，全是真命题）推出结论（亦全是真命题）， 这样的结论称为合法结论。 数理逻辑有所不同， 它着重研究的是推理的过程， 这种过程称为演绎或形式证明。 在过程中使用的推理规则必须是公认的且要明确列出， 而对于作为前提和结论的命题并不一定要求它们全是真命题， 这样的结论称为有效结论。 定义1.6.1 称蕴涵式（A1∧A2∧…∧An）→B为推理的形式结构， A1， A2， …， An为推理的前提， B为推理的结论。 若（A1∧A2∧…∧An）→B是重言式， 则称从前提A1， A2， …， An推出结论B的推理正确， B是A1， A2， …， An的有效结论或逻辑结论。 记作：  （A1∧A2∧…∧An）B （A1, A2, …, AnB) 否则称推理不正确， 或B不是前提A1， A2， …，An的有效结论。 【例1.6.1】 验证下面推理是否正确： 一个数是复数， 仅当它是实数或是虚数， 一个数既不是实数也不是虚数， 因此它不是复数。 证明 设p: 它是复数， q:它是实数，r它是虚数。 推理的形式结构为： （3） 主析取范式法（略）。 以上的证明方法， 当形式结构比较复杂， 特别是所含命题变元较多时， 一般是很不方便的。 下面介绍构造证明法， 这种方法必须在给定的规则下进行， 其中有些规则建立在推理定律（重言蕴涵式）的基础之上。 推理定律： (1) A（A∨B） 附加 (2) （A∧B）A 化简 (3) （（A→B）∧A）B 假言推理 (4) （（A→B）∧ B） A 拒取式 (5) （（A∨B）∧ B） A 析取三段论 (6) （（A→B）∧（B→C））（A→C） 假言三段论 (7) （（AB）∧（BC））（AC） 等价三段论 (8) （（A→B）∧（C→D）∧（A∨C））（B∨D） 构造性二难 推理规则： 前提引入规则： 在证明的任何步骤上， 都可以引入前提。 结论引入规则： 在证明的任何步骤上， 所得到的结论均可作后续证明的前提加以引用。  置换规则： 在证明的任何步骤上， 命题公式中的任何子公式都可以用与之等值的公式置换。 构造证明法： 构造证明可以看作公式的序列， 其中的每个公式都是按照事先规定的规则得到的， 且需将所用的规则在公式后写明， 该序列的最后一个公式正是所要证明的结论。 【例1.6.2】 构造下列推理的证明 前提： p∨q， p→ r， s→t， s→r， t 结论： q 解 （1） s→t 前提引入 （2） t 前提引入 （3） s （1）（2）拒取式 （4） s→r 前提引入 （5） r （3）（4）假言推 （6） p→ r 前提引入 （7） p （5）（6）拒取式 （8） p∨q 前提引入 （9） q