高等动力学18-稳定性3-Lyapunov一次近似稳定定理.pptVIP

清华大学航天航空学院 王天舒（tswang@tsinghua.edu.cn） 运动稳定性之Lyapunov一次近似稳定定理 本节内容 本节的内容适用于定常系统 内容1：线性系统的稳定性判据 内容2：Lyapunov一次近似理论 设非线性的受扰运动微分方程为： 将其在原点x＝0处展开为Taylor级数： 即： 可否利用首次近似判断非线性系统的稳定性？ 定常非线性系统的首次近似微分方程 定义1： 方阵A的特征矩阵为 定义2： 多项式 称为方阵A的特征多项式。 定义3： 方程 称为方阵A的特征方程。 定义4： 特征方程的根称为方阵A的特征值。 显然，特征方程为 的n次代数方程。 设共有m个不同的特征值 ，每一个特征值对应的重数为 。 则方程 的解为： 线性系统的解 准则1：若所有特征值的实部为负，则方程的零解渐近稳定。 证： 1. 若 为实数 当 时， 2. 若 为复数( )。 则必有另一个共轭的复特征值( ) 。 当 时， 大范围渐近稳定：从相平面上出发的任一点出发的运动轨迹均会收敛于零点。 线性系统只有一个平衡点。 线性系统的稳定性准则 准则2：若至少有一个特征值的实部为正，则方程的零解不稳定。 准则3：若存在零实部的特征值，且为单根，其余根无正实部，则方程的零解稳定，但不是渐近稳定。若为重根，则零解不稳定。 例： 解： 其特征方程为： 线性系统的稳定性准则 设系统的特征方程为： 则系统稳定的充要条件是由特征方程的系数ai(i=1,2,…,n) 构成的主行列式及其主对角线上的各阶主子式均为正，即 Routh-Hurwitz判据 Routh-Hurwitz判据 设描述系统的方程为 ，系统在平衡状态x=0处渐近稳定的充分必要条件是：对任意给定的一个正定对称矩阵Q，存在一个正定对称矩阵P，且满足 线性系统的渐近稳定性准则 证明：取 若P正定，则有V正定 若Q正定，则有 运动渐近稳定 说明：任取Q正定，满足方程的P唯一，若P正定，系统渐近稳定。 说明：若 沿任意轨迹不恒为零，则P可以为半正定 线性系统的渐近稳定性准则：例 分析下列系统零解稳定性 得 则由 解：令 取 解得 可知P是正定的。 系统渐近稳定 线性系统的渐近稳定性准则的应用：设计控制率 线性系统的渐近稳定性准则的应用：参数最优化问题 线性系统的渐近稳定性准则的应用：参数最优化问题 线性系统的渐近稳定性准则的应用：参数最优化问题 例 给定系统的状态方程为 试确定阻尼比 的值，使系统的性能指标 ，其中 达到最小值。 解得 于是有 解: 由 ，知 线性系统的渐近稳定性准则的应用：参数最优化问题 将 代入上式，知 。 再令 于是得 定理一：若一次近似方程的所有特征值实部均为负，则原方程的零解渐近稳定。 例：判断带阻尼单摆平衡状态的稳定性： 解：系统的动力学微分方程为： 其一次近似方程为： 一次近似方程的特征方程和特征值为： Lyapunov一次近似理论 定理二：若一次近似方程的至少有一个特征值实部为正，则原方程的零解不稳定。 例：判断带阻尼单摆倒立状态的稳定性： 解：系统的受扰运动微分方程为： 其一次近似方程为： 一次近似方程的特征方程和特征值为： Lyapunov一次近似理论 定理三：若一次近似方程存在零实部的特征值，其余特征值正无实部，则不能判断原方程的零解稳定性。 例：判断非线性系统的稳定性： 解：系统的一次近似方程为： 一次近似方程的特征方程和特征值为： 无法确定其稳定性。 选择正定的Lyapunov函数： Lyapunov一次近似理论 例：重珠在光滑金属丝上运动，金属丝以恒定角速度?旋转，其形状为： 解：广义坐标取为x，Lagrange函数： 动力学方程： 平衡位置： 平衡位置x=0的受扰运动微分方程： Lyapunov一次近似理论：例 首次近似： 特征方程： 当g/p?2时： 有正根：不稳定。 当g/p?2时： 两个实部为0的根，无法判断。 定义V函数： Lyapunov一次近似理论：例 Lyapunov一次近似理论：例 O 方程的特解： 定义扰动变量： 受扰运动微分方程： Lyapunov一次近似理论：例 首次近似： 特征方程：