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第5章 求解线性代数方程组的直接法 线性代数方程组求解概论 恰定线性代数方程组求解 矩阵的三角分解 线性代数方程组数值解和矩阵三角分解的MATLAB实现 5.1线性代数方程组求解概论 含有n个未知量（x1,x2,……,xn）、m个保留方程的线性代数方程组： 线性代数方程组解的性质 齐次线性代数方程组： R(A)n 有非零解 R(A)=n 有一个零解 非齐次线性代数方程组： R(A)=R(B)=n 恰定方程组，有唯一解向量 R(A)=R(B)n 欠定方程组，有无穷多解向量 R(A)R(B) 超定方程组，没有解向量 5.2恰定线性代数方程组Ax=b求解 克莱姆法则： 5.2恰定线性代数方程组Ax=b求解 高斯消去法： 练习 用全主元消去法求下列恰定方程组的根 5.3矩阵的三角分解 高斯消去法的实质 5.3矩阵的三角分解 矩阵的三角分解 5.3矩阵的三角分解 利用矩阵的三角分解来解线性方程组： 5.4线性代数方程组数值解的MATLAB实现 齐次线性代数方程组求解指令 练习 求方程组的解 解： a=[1 2 2 1;2 1 -2 -2;1 -1 -4 -3]; rank(a) ans = 24 null(a) ans = 0.6411 -0.3238 -0.4405 0.5004 -0.1810 -0.6034 0.6018 0.5298 5.4线性代数方程组数值解的MATLAB实现 恰定方程组的MATLAB求解 条件：R(A)=R(B)=r=n,n为系数方阵A的阶数 方程组有唯一解 解法： 先判断方程组是否有解 若有解，则x=inv(A)*b 练习 求方程组的解 解： a=[2 1 -5 1;1 -3 0 -6;0 2 -1 2;1 4 -7 6]; b=[8;9;-5;0]; rank(a) ans = 4 rank([a b]) ans = 4 rank(a)=rank([a b])=n,为恰定方程组，有唯一解 x=inv(a)*b x = 3.0000 -4.0000 -1.0000 1.0000 5.4线性代数方程组数值解的MATLAB实现 欠定方程组的MATLAB求解 条件：R(A)=R(B)=rn,n为系数方阵A的阶数 方程组有无数解 解法： 先判断方程组是否有解 若有解，则x=inv(A)*b求出特解 再求Ax=0的基础解系（齐次方程组的解法） 二者合并得到方程组的通解 5.4线性代数方程组数值解的MATLAB实现 超定方程组的MATLAB求解 条件：R(A)R(B)=rn,n为系数方阵A的阶数 方程组有精确解，可用x=inv(A)*b求出最小二乘解 最小二乘解指把该解代入方程得到的值与自由项b的差的平方和最小 本章要求 要求能用高斯消去法（全元消去或列元消去）解恰定方程组 要求会用MATLAB指令解各类方程组 可以表示成矩阵形式：Ax=b 时为齐次线性代数方程组 时为非齐次线性代数方程组 我们的目标：求恰定方程组解向量！ R(A)指矩阵A的秩 克莱姆法则计算比较烦琐，占用计算空间大， 不适合机器运算 思路 首先将A化为上三角阵 ，再回代求解 = 消元 记 Step 1：设 ，计算因子 将增广矩阵第 i 行 ? mi1 ? 第1行，得到 其中 Step k：设 ，计算因子 且计算 共进行 ？ 步 n ? 1 回代 What if ? No unique solution exists. What if ? Then we must find the smallest integer k ? i with , and interchange the k-th row with the i-th row. What if we can’t find such k ? No unique solution exists. 定理 若A的所有顺序主子式 均不为0，则高斯消元无需换行即可进行到底，得到唯一解。 注：事实上，只要 A 非奇异，即 det|A|≠0，则可通过逐次消元及行交换，将方程组化为三角形方程组，求出唯一解。 ? 选主元消去法 例：单精度解方程组 /* 精确解为 和 */ 8个 8个 用顺序高斯消去法计算： 8个 小主元 可能导致计算失败。 ? 全主元消去法 每一步选绝对值最大的元素为主元素