2019版高考数学（文）优选（全国通用版）讲义：第49讲圆锥曲线的综合问题+Word版含答案.docxVIP

第49讲　圆锥曲线的综合问题考纲要求考情分析命题趋势1.掌握直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系的解题方法．2．理解数形结合的思想．3．了解圆锥曲线的简单应用．2017·北京卷，192016·全国卷Ⅰ，202016·全国卷Ⅱ，212016·全国卷Ⅲ，201.求直线或曲线所过的定点．2．求与圆锥曲线有关的定值问题．3．求与圆锥曲线相关的面积、距离等的最值．4．探求与圆锥曲线有关的存在性问题．分值：12～14分1．直线与圆锥曲线的位置关系(1)从几何角度看，可分为三类：__无公共点__、__仅有一个公共点__及有两个__相异的公共点__.(2)从代数角度看，可通过将表示直线的方程代入二次曲线的方程消元后所得一元二次方程解的情况来判断．设直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，圆锥曲线方程为f(x，y)＝0.由消元(如消去y)，得ax2＋bx＋c＝0.①若__a＝0__，当圆锥曲线是双曲线时，直线l与双曲线的渐近线平行；当圆锥曲线是抛物线时，直线l与抛物线的对称轴平行(或重合)．②若a≠0，设Δ＝b2－4ac.当__Δ＞0__时，直线和圆锥曲线相交于不同的两点；当__Δ＝0__时，直线和圆锥曲线相切于一点；当__Δ＜0__时，直线和圆锥曲线没有公共点．2．直线与圆锥曲线相交时的弦长问题(1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长：＝＝＝＝__　　__.(2)斜率不存在时，可求出交点坐标，直接求解(利用坐标轴上两点间距离公式)．3．圆锥曲线的中点弦问题遇到弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．在椭圆＋＝1中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k＝__　－　__；在双曲线－＝1中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k＝__　　__；在抛物线y2＝2px(p0)中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率__　k＝　__.在使用根与系数的关系时，要注意使用条件是Δ≥0.4．(1)直线y＝kx＋m表示过点(0，m)且不包括垂直于x轴的直线，故设直线y＝kx＋m时，必须先讨论过点(0，m)且垂直于x轴的直线是否符合题设要求．(2)直线x＝my＋n表示过点(n,0)且不包括垂直于y轴的直线，故设直线x＝my＋n时，必须先讨论过点(n,0)且垂直于y轴的直线是否符合题设要求．注：过y轴上一点(0，m)的直线通常设为y＝kx＋m；过x轴上一点(n,0)的直线通常设为x＝my＋n.1．思维辨析(在括号内打“√”或“”)．(1)直线l与椭圆C相切的充要条件是直线l与椭圆C只有一个公共点．(　√　)(2)直线l与双曲线C相切的充要条件是直线l与双曲线C只有一个公共点．(　×　)(3)直线l与抛物线C相切的充要条件是直线l与抛物线C只有一个公共点．(　×　)(4)如果直线x＝ty＋a与圆锥曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则弦长＝.(　√　)(5)若抛物线C上存在关于直线l对称的两点，则需满足直线l与抛物线C的方程联立消元后得到的一元二次方程的判别式Δ＞0.(　×　)解析　(1)正确．直线l与椭圆C只有一个公共点，则直线l与椭圆C相切，反之亦成立．(2)错误．因为直线l与双曲线C的渐近线平行时，也只有一个公共点，是相交，但并不相切．(3)错误．因为直线l与抛物线C的对称轴平行时，也只有一个公共点，是相交，但不相切．(4)正确.＝，又x1＝ty1＋a，x2＝ty2＋a，所以＝＝＝.(5)错误．应是以l为垂直平分线的段线AB所在的直线l′与抛物线方程联立，消元后所得一元二次方程的判别式Δ＞0.2．过抛物线y2＝2x的焦点作一条直线与抛物线交于A，B两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线(　B　)A．有且只有一条　　　B．有且只有两条C．有且只有三条　　　D．有且只有四条解析　设该抛物线的焦点为F，A(xA，yA)，B(xB，yB)，则＝＋＝xA＋＋xB＋＝xA＋xB＋1＝2＋1＝3＞2p＝2.所以符合条件的直线有且只有两条．故选B.3．直线l：y＝x＋3与曲线－＝1交点的个数为(　D　)A．0　　　B．1　　　　C．2　　　D．3解析　当x≥0时，曲线为－＝1；当x＜0时，曲线为＋＝1，如图所示．直线l：y＝x＋3过(0,3)，又由于双曲线－＝1的渐近线y＝x的斜率＞1，故直线l与曲线－＝1(x≥0)有两个交点，显然l与椭圆＋＝1(x≤0)有两个交点，又(0,3)是椭圆与双曲线的公共点，所以共3个交点．4．已知双曲线x2－＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，·的最小值为(　A　)A．－2　　　B．－C．1　　　D．0解析　设点P(x，y)，其中x≥1.依题意得A1(－1,0)，F2(2,0)，由双曲线方程得y2＝3(x2－1)．·＝(－1－x，－y)·(