弹性力学及有限元(2).pptVIP

讲授内容 §1-３ 弹性力学中的几个基本概念 外力 应力 形变 位移 §2-1 平面应力问题与平面应变问题 平面应力问题 平面应变问题 §2-2 平衡微分方程 证明剪应力互等性 推导平衡微分方程 第一章 绪 论 第二章 平面问题的基本理论 课外作业 P8 习题1－４ 习题1－５ 习题1－８ P31 习题２－１ 习题２－２ * 弹性力学及有限元 上海交通大学土木工程系 吴 刚 §1-3 弹性力学中的几个基本概念 外力 作用于物体的外力可分为体积力和表面力 体积力（体力）指分布在物体体积内的力。如重力、惯性力。 体力集度 弹性力学中经常用到的基本概念有: 外力、应力、形变和位移 表面力（面力） 指分布在物体表面的力。如风力、液体压力、物体间的接触力等。 面力集度 其因次是[力][长度]-3，如：N/m3或kN/m3。 其因次是[力][长度]-2 ，如：Pa或MPa。１N/m２＝ １Pa，１MPa＝１0６Pa。 内力 物体内部分子或原子间的相互作用力; 由于外力作用引起的相互作用力。 （不考虑） 由外力引起的在 P点的某一面上内力分布集度 应力分量 应力的法向分量　?　—— 正应力 应力的切向分量　?　—— 剪应力 应力关于坐标是连续分布的 应力 一点应力的概念 定义 应力的因次是[力][长度］-2，与面力相同。 应力可分为正应力(?)和剪应力(?) （需考虑） 一点的应力状态 通过一点P 的各个面上应力状况的集合 —— 称为一点的应力状态 x面的应力： y面的应力： z面的应力： 应力的矩阵表示 由切应力互等定理： x y z O 九个应力分量中，只有六个分量是独立的。 应力符号的意义 第1个下标 x 表示τ所在面的法线方向； 第2个下标 y 表示τ的方向。 爱因斯坦记法（张量法）： 应力正负号的规定 正应力—— 拉为正，压为负。 剪应力—— 坐标正面上，与坐标正向一致时为正； 坐标负面上，与坐标正向相反时为正。 右上图所示的应力全都是正的。 x y z O 如果某一个截面上的外法线是沿着坐标轴的正方向，这个截面就称为一个正面，这个面上的应力就以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为负。 反之，如果某一个截面上的外法线是沿着坐标轴的负方向，这个截面就称为一个负面，这个面上的应力就以沿坐标轴负方向为正，沿坐标轴正方向为负。 而材料力学规定使得单元体顺时针的剪应力τ为正，反之为负。如右图所示。 注意：在用应力莫尔圆时，必须按材料力学的规定求解问题。 弹力与材力中剪应力正负号规定的区别 x y 即 则弹性力学中的切应力互等定理改为 在弹性力学中，切应力记号的两个下标字母可以对调。如 形变 一点形变的度量 定义 形变是指物体形状的改变。形变可归结为长度和角度的改变，即用物体的应变状态来表示。 正应变 ? 各线段的每单位长度的伸缩，即单位伸缩或相对伸缩； 剪应变 ? 两线段之间的直角的改变，用弧度表示。 正应变和剪应变都是无因次的量。 三个方向的线应变： 三个平面内的剪应变： 应变的正负 线应变： 伸长时为正，缩短时为负； 剪应变： 以直角变小时为正，变大时为负。 —— 代表一点 P 的邻域内线段以及线段间夹角的改变。 x y z O P B C A 应变无量纲； 注意： 应变分量均为位置坐标的函数，即 一点的应变状态 可以证明： 即：若已知九个应变分量中的六个，就能确定一点的应变状态。 位移 位移是指位置的移动。 物体内任意一点的位移，可用它在x，y，z三轴上的投影u，v，w来表示。 x y z O S w u v P 其因次是［长度］。量纲：m 或 mm。 位移分量： u —— x方向的位移分量； v —— y方向的位移 分量； w—— z方向的位移 分量。 弹性力学问题 需建立三个方面的关系 （1）静力学关系 应力与体力、面力间的关系； （2）几何学关系 形变与位移间的关系； （3）物理学关系 形变与应力间的关系。 已知外力、物体的形状和大小（边界）、材料特性（E、μ）、约束条件等，求解应力、应变、位移分量。 §2-1 平面应力问题与平面应变问题 平面应力问题 设有很薄的等厚度薄板，只在板边上受有平行于板面并且不沿厚度变化的面力。同时，体力也平行于板面并且不沿厚度变化。 严格说来，任何一个实际的弹性力学问题都是空间问题。对某些特殊形状并承受特殊外力的弹性体，可把空间问题简化为近似的平面问题。平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。 设薄板的厚度为t,以薄板的中面为xy面,以垂直于中面的任一直线为z轴。因为板面上（z＝±t／2）不受力，所以有 由于板很薄，外力又不沿厚度变化，应力沿着板的厚度又是连续分布的。因此，可认为在整个薄板上的所有各点，都有 于是 应力状态具有上述性质