0第1章基础02.pptVIP

残余误差平方和最小这一条件的矩阵形式为 最小 即 最小 或 最小 将上述线性函数的正规方程式(1-24)用残余误差表示，可改写成： （1-26） 写成矩阵形式为 即 ： 由式(1-25)有： （1-27） 上式即为最小二乘估计的矩阵解。 例： 铜的电阻值R与温度t之间关系为Rt=R0 (1+? t)，在不同温度下，测定铜电阻的电阻值如下表所示。试估计0?C时的铜电阻的电阻值R0和铜电阻的电阻温度系数? 。 ti (0?C) 19.1 25.0 30.1 36.0 40.0 45.1 50.0 Ri (?) 76.3 77.8 79.75 80.80 82.35 83.9 85.10 解：列出误差方程： Rti - R0 (1+? ti) = vi (i=1，2，3，…，7) 式中，Rti是在温度ti下测得的铜电阻的电阻值。 Rti - ( R0 + ti ? R0) = vi 令x1 = R0， x2 ＝? R0， 则误差方程可写为 Rti - (x1 + ti x2) = vi an1=1, an2= ti 其正规方程按式（1-24）为 于是有： Rti - (x1 + ti x2) = vi an1=1, an2= ti 将各值代入上式，得到 解得： x1 = 70.8? x2 = 0.288 ? 即： Rt=R0 (1+? t) Rt=70.8 (1+4.07?10-3 t) 铜的电阻值R与温度t之间关系为: 用矩阵法求解: （有解） 所以 Rt=70.8 (1+4.07?10-3 t) 3. 用经验公式拟合实验数据——回归分析 在工程实践和科学实验中，经常遇到对于一批实验数据，需要把它们进一步整理成曲线图或经验公式。用经验公式拟合实验数据，工程上把这种方法称为回归分析。 回归分析就是应用数理统计的方法，对实验数据进行分析和处理，从而得出反映变量间相互关系的经验公式，也称回归方程。 当经验公式为线性函数时，例如 （1-28） 称这种回归分析为线性回归分析，它在工程中的应用价值较高。 在线性回归中，当独立变量只有一个时，即函数关系为 （1-29） 这种回归称为一元线性回归，这就是工程上和科研中常遇到的直线拟合问题。 设有n对测量数据(xi，yi)，用一元线性回归方程 o v1 o v2 v3 o o o vn v4 x1 x2 x3 x4 xn y x 图1-12 用最小二乘法求回归直线 误差方程组为 式中： ——在x1，x2，…，xn点上y的估计值。 再用最小二乘法求系数b0，b。 可应用最小二乘法原理，使各测量数据点与回归直线的偏差平方和为最小，见图1-12。 拟合，根据测量数据值，求方程中系数b0、b的最佳估计值。 1.2.5 测量结果的数据处理 1. 测量结果的表示方法与有效数字的处理原则 （一）测量结果的数字表示方法 1）单次测量结果的表示方法 如果已知测量仪表的标准偏差?，作一次测量，测得值为X，则通常将被测量X0的大小表示为 X0 = X ? ? （1-34） 上式表明被测量X0的估计值为X，当取置信概率Pc=68.3％时，测量误差不超出±?。为更明确地表达测量结果的概率意义，上式应写成下面更完整的形式： X0 = X ? ? （置信概率Pc=68.3％） 2）n次测量结果的表示方法 当用n次等精度测量的算术平均值?X作为测量结果时，其表达式为 （1-35） 式中， 置信系数C可根据所要求的置信概率Pc及测量次数n而定。 一般情况下，当极限误差取为 为了使置信概率Pc0.99，应有n14，一般测量次数n最好不低于10。测量次数少于14次，若仍用作为极限误差，则对应的置信概率Pc将下降到0.98～0.8。 (即置信系数C=3)时， 为算术平均值的标准偏差. （二）有效数字的处理原则 当以数字表示测量结果时，在进行数据处理的过程中，应注意有效数字的正确取舍。处理原则如下： 1）有效数字的基本概念 一个数据，从左边第一个非零数字起至右边含有误差的一位为止，中间的所有数码均为有效数字。测量结果一般为被测真值的近似值，有效数字位数的多少决定了这个近似值的准确度。 在有些数据中会出现前面或后面为零的情况。如25?m也可写成0.025 mm，后一种写法前面的两个零显然是由于单位改变而出现的，