高中数学竞赛辅导讲义第九讲 不等式.pdfVIP

九章 不等式 一、基础知识 不等式的基本性质： （1）ab ¤ a-b0 ； （2 ）ab, bc fi ac ； （3 ）ab fi a+cb+c ； （4 ）ab, c0 fi acbc ； （5 ）ab, c0 fi acbc; （6 ）ab0, cd0 fi acbd; n n ∈ ∈ n n （7 ）ab0, n N+ fi a b ; （8 ）ab0, n N+ fi a b ; （9 ）a0, |x|a ¤ -axa, |x|a ¤ xa 或x-a; ∈ （10）a, b R ，则|a|-|b| |a+b| |a|+|b|; 2 2 2 ∈ （11）a, b R ，则(a-b) ≥0 ¤ a +b ≥2ab; + ∈ 3 （12）x, y, z R ，则x+y≥2 xy , x+y+z 3 xyz . 前五条是显然的，以下从第六条开始给出证明。 （6 ）因为ab0, cd0，所以acbc, bcbd，所以acbd ；重复 利用性质（6 ），可得性质（7 ）；再证性质（8 ），用反证法，若n a £ n b ， 由性质（7 ）得(n a )n £ (n b )n ，即a b ，与ab 矛盾，所以假设不成立， n n 所以 a b ；由绝对值的意义知（9 ）成立；-|a| a |a|, -|b| b |b|，所 以-(|a|+|b|) a+b |a|+|b|，所以|a+b| |a|+|b|；下面再证（10）的左边，因 为|a|=|a+b-b| |a+b|+|b|，所以|a|-|b| |a+b|，所以（10）成立；（11）显然 成立；下证（12），因为x+y-2 xy = ( x - y )2 ≥0，所以x+y≥2 xy ， 3 3 3 当且仅当x=y 时，等号成立，再证另一不等式，令 x = a, y = b, z = c ， 3 3 3 3 3 2 2 因 为 x +b +c -3abc =(a+b) +c -3a b-3ab -3abc 3 3 2 2 =(a+b) +c -3ab(a+b+c)=(a+b+c)[(a+b) -(a+b)c+c ]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)( 2 2 2 1 2 2 2 a +b +c -ab-bc-ca)= (a+b+c)[(a-b) +(b-c) +(c-a) ] ≥0 ， 所 以 2 3 3 3 a +b +c ≥3abc，即x+y+z≥33 xyz ，等号当且仅当x=y=z 时成立。 二、方法与例题 1．不等式证明的基本方法。 （1）比较