高中数学竞赛辅导讲义第一讲 集合与简易逻辑【讲义】.pdfVIP

第一章 集合与简易逻辑 一、基础知识 定义1 一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，简称集， 用大写字母来表示；集合中的各个对象称为元素，用小写字母来表示，元素x 在 集合A 中，称x 属于A ，记为x ŒA ，否则称x 不属于A ，记作x œA 。例如，通 + 常用N ，Z ，Q，B ，Q 分别表示自然数集、整数集、有理数集、实数集、正有理 数集，不含任何元素的集合称为空集，用 来表示。集合分有限集和无限集两种。 集合的表示方法有列举法：将集合中的元素一一列举出来写在大括号内并用逗号 隔开表示集合的方法，如{1，2 ，3}；描 法：将集合中的元素的属性写在大括 号内表示集合的方法。例如{有理数}，{x x 0}分别表示有理数集和正实数集。 定义2 子集：对于两个集合A 与B ，如果集合A 中的任何一个元素都是集合B 中的元素，则A 叫做B 的子集，记为A Õ B ，例如N Õ Z 。规定空集是任何集 合的子集，如果A 是B 的子集，B 也是A 的子集，则称A 与B 相等。如果A 是 B 的子集，而且B 中存在元素不属于A ，则A 叫B 的真子集。 定义3 交集，A I B = {x x ŒA 且x ŒB}. 定义4 并集，A U B = {x x ŒA 或x ŒB}. 定义5 补集，若A Õ I ,则C A = {x x ŒI ,且x œA}称为A 在I 中的补集。 1 定义6 差集，A \ B = {x x ŒA,且x œB} 。 定义7 集合{x a x b,x ŒR , a b}记作开区间(a,b) ，集合 {x a £ x £ b,x ŒR , a b}记作闭区间[a,b] ，R 记作(-•,+•). 定理1 集合的性质：对任意集合A ，B ，C，有： （1）A I (B U C) = (A I B) U (A I C); （2 ）A U (B I C) = (A U B) I (A U C) ； （3 ）C A U C B = C (A I B); （4 ）C A I C B = C (A U B). 1 1 1 1 1 1 【证明】这里仅证（1）、（3 ），其余由读者自己完成。 （1）若x ŒA I (B U C) ，则x ŒA ，且x ŒB 或x ŒC ，所以x Œ(A I B) 或 x Œ(A I C) ，即x Œ(A I B) U (A I C) ；反之，x Œ(A I B) U (A I C) ，则x Œ(A I B) 或x Œ(A I C) ，即x ŒA 且x ŒB 或x ŒC ，即x ŒA 且x Œ(B U C) ，即 x ŒA I (B U C). （3 ）若x ŒC A U C B ，则x ŒC A 或x ŒC B ，所以x œA 或x œB ，所以 1 1 1 1 x œ(A I B) ，又x ŒI ，所以x ŒC (A I B) ，即C A U C B Õ C (A I B) ，反之也 1 1 1 1 有C (A I B) Õ C A U C B. 1 1 1 定理2 加法原理：做一件事有n 类办法，第一类办法中有m1 种不同的方法， 二类办法中有m2 种不同的方法， ， n 类办法中有mn 种不同的方法，那么完 成这件事一共有N = m1 + m2 + L+ mn 种不同的方法。 定理3 乘法原理：做一件事分n 个步骤，第一步有m1 种不同的方法， 二步有 m2 种不同的方法， ， n 步有mn 种不同的方法，那么完成这件事一共有 N = m1 m2 L mn 种不同的方法。 二、方法与例题 1．利用集合中元素的属性，检验元素是否属于集合。 例1 设M = {a a = x 2 - y 2 ,x , y ŒZ } ，求证： （1）2k - 1ŒM , (k ŒZ ) ； （2 ）