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09-10高一第一学期试卷
2009-2010学年度第一学期期末考试高一数学试题 参考答案（B卷） 一．选择题： （每小题5分，共50分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A B C B C A A A C 二．填空题：（每小题5分，共30分）． 11. ； 12. ； 13. ； 14. ； 15．先做,的图象关于直线对称的图象,可得,的图象; 再做，关于原点对称的图象可得，图象． 16. 三．解答题：(共70分) 17.解： (Ⅰ) . ……………………………………………………….3分 最小正周期为…………………………………………………………..5分 （Ⅱ）即， 得，…………………………………………………………….7分 所以，当时，函数有最大值，最大值为．…………….10分 18.证明: 在上任取,且. …………………………………………………2分 . …………………………………………..6分 又， 所以，，，…………………..9分 所以，即. 故在为增函数．……………………………………………………..12分 19．解： （Ⅰ）由三角函数的定义，可得，……………………3分 因为为锐角，所以．………………………6分 （Ⅱ）解法一： 由已知得：向量的夹角为. ……………………8分 由，可求得……………………………………..10分 所以 . ……………………………………………….12分 20. 证明： 先证 因为,所以，………………………………………………..2分 又， ，………………………………….4分 所以. 于是………………………………………………………..6分 再证． 由上可知， ， 又，所以．…………………………………….. 8分 于是． 所以．…………………………………………. 10分 几何意义：矩形的对角线相等；对角线相等的平行四边形是矩形．….12分 21.解：（1）最初的质量为， 经过1年，. …………………………..2分 经过2年，. 经过年， . ……………………………………….6分 解方程…………………………………………….8分 两边取常用对数，得…………………………………10分 即这种放射性元素的半衰期约为3.1年．……………………………..12分 22.解： (Ⅰ),…………………………………………….1分 所以定义域. ……………………………............3分 （Ⅱ）因为 所以，……………………………………………..5分 由上可知，对任意，都有，即. 所以为奇函数……………………………………………………..7分 （Ⅲ）若函数在上恒有零点， 即方程在上恒有实数解．…………….8分 可证在上为减函数，也为减函数． 从而在上为减函数．……………………….10分 所以 即满足条件．………………………………………..12分
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