08年线性代数试题A卷.docVIP

中国海洋大学 2007-2008学年 第2学期 期末考试试卷 数学科学学院《线性代数》课程试题(A卷) 优选专业年级 XXX XXXX 学号 姓名 授课教师 座号 ----------------装----------------订----------------线---------------- 共 3页 第 1 页 考试说明：本课程为闭卷考试，考试时间100分钟。 满分为：100分 题号一二三四五六总分得分 填空题（每题3分，共15分） 1．设的基为，则在基下的坐标为 。 2．已知方阵，且满足方程，则的逆矩阵 。 3．设为3阶实对称矩阵, 向量,分别对应于特征值和的特征向量, 则 。 4．若矩阵的秩，则 。 5．设为3阶矩阵，且，则 。 单项选择题（每题3分，共15分） 1．向量组线性相关的充要条件是( )。 (A) 中至少有两个向量成正比； (B) 中至少有一个零向量； (C) 中至少有一个向量可由其余的向量线性表示； (D) 中任一部分组线性相关。 2．已知阶行列式，则下列表述正确的是（ ）。 （A）行列式主对角线上的元素全为零； （B）的行向量组线性相关； （C）方程仅有零解； （D）的秩为。 3．设为同阶方阵，下列结论成立的有（ )。 (A）； （B）； （C）若，则； （D）。 4．已知元非齐次线性方程，为方程对应的齐次线性方程组，则有（ ）。 （A）若只有零解，则有惟一解； （B）有惟一解的充要条件是； （C）有两个不同的解，则有无穷多解； （D）有两个不同的解，则 的基础解系中含有两个以上向量。 5．行列式的充要条件是（ ）。 （A）； （B）；（C）或；（D）且。 三．计算下列各题（32分） 1. 求阶行列式的值。 2．设矩阵满足方程，求矩阵。 3．设,, 求，及。 4．求矩阵的特征值与特征向量。 四．求向量组， 的一个极大无关组, 并将其余向量用这个极大无关组线性表示。（10分） 五．设二次型，利用正交变换法将二次型化为标准型，并写出正交矩阵。（10分） 六．设线性方程组试确定的值，使方程组有解，并求出其全部的解。（10分） 七．（8分）设向量组中，前个向量线性相关，后个向量线性无关，试证明： （1）可表示为的线性组合； （2）不能表示为的线性组合。授课教师命题教师或命题负责人签字《线性代数》命题组 年 月 日院系负责人签字 年 月 日2007-2008学年 第2学期《线性代数》A卷答案 填空题（每题3分，共15分） 1．； 2． ； 3． ； 4． ； 5． 。 选择题（每题3分，共15分） 1．C; 2．B ; 3．D ; 4．C ; 5．D。 三．计算下列各题（解法不唯一，答案仅供参考，下同。） 1. 。2． 。 3．,, 。 4．，得。所对应的特征向量,所对应的特征向量。 四．解：作矩阵，对其进行初等行变换化为阶梯形矩阵， 极大无关组为，且，。 五．解：二次型对应的矩阵为，特征多项式为， 从而，.所对应的特征向量有及。所对应的特征向量。正交单位化后得 ， 因此， 。二次型的标准型为。 六．解：，因此，当时，方程组有解。 一般解为：。 七．证明：（1）由题设知线性无关，又线性相关，所以可表示为的线性组合。 （2）反证法。若能表示为的线性组合，由（1），能表示为的线性组合，所以线性相关，矛盾。 选择题（每题3分，共18分） 1. C 2. B 3. D 4. A 5. C 6. D 填空题：（每空3分,共18分） 1. 0 3. 由，得 4. 1, 1, 0 5. -1 6. (12分) 解：(1). 利用数学归纳法，得 ， 假设时成立，证明时成立. 行列式按第一行展开，再按第一列展开得 . 由1.,2.得结论成立. -----------------------------------（4分） (2). 时，有唯一解. 由克莱默法则，得 . -----------------（8分） . 时，有无穷多解