麦克劳林公式.PPTVIP

§1 拉格朗日定理和函数的单调性 §2 柯西中值定理和不定积分 §3 泰勒公式 §4 函数的极值和最大（小）值 §5 函数的凸性和拐点 §6 函数图像的讨论 第六章 微分中值定理及其应用 估计式 作 业 第 141 页 A 类：1（1）（3），2（1）（2）， 3（1）； B 类：4（1），5（1）； 前面讲的带有佩亚诺型余项的泰勒公式实际上是 下面是一个定量形式的泰勒公式. 我们用泰勒多项式去替代函数,其误差为 有限增量公式的一个推广,它只是定性地的告诉 泰勒公式 二、带有拉格朗日型余项的 定理6.9 (泰勒定理) 若函数 上存在直 到n 阶连续导函数, 在(a,b)内存在(n+1)阶导数, 则 或者 其中 阶泰勒多项式. 证 设 不妨设 上连续, 在 上可导, 且 由柯西中值定理, 得 因为 所以 为 f (x) 在点 x0 的 n 阶拉格朗日型余项,公式 (5) 于是就得到 我们称 称为 f (x) 在点 x0 的带有拉格朗日型余项的 n 阶 注 请比较公式 (5) 与拉格朗日中值定理. 泰勒公式. 因 之间, 故存在正数 所以 使得 又可写成 当 时, 公式 (5) 成为 公式 (6) 称为带有拉格朗日型余项的麦克劳林公 例1 中六个公式的余项均为佩亚诺型的, 现在将 不一样.读者在应用时,需根据不同情况选择合适 分均为泰勒多项式,而不同的是 Rn(x) 的表达形式 式.公式 (3) 与公式 (5) 都是泰勒公式, 并且前面部 它们改写为带有拉格朗日型余项的公式: 形式的余项. 这里仅对公式 (iii) 进行验证, 其余 5 个请读者自理. 于是 从而有 注 例7 (1) 计算 e 的值,使其误差不超过 (2) 证明 e 是无理数. 解 由例5 可知 三、 泰勒公式在近似计算中的应用 于是 下证 e 是无理数. 这是因为 其误差不超过　　. 矛盾. 所以 e 是一个无理数. ( 同样可证明　　　　　都不是有理数.) 例8 计算 ln2 的值, 使其误差不超过10 -4. 解 我们自然会想到利用公式 (iv)，此时用 x = 1 代入，它的余项是 那么　　　不是整数. 而由 (7) 式得到 整数　整数 整数, 现考虑函数 显然这样的计算量太大, 所以必须寻找新的方法. 而 于是 只要取 n = 6, 便得到 其误差不超过0.0001 (真值为0.693147180…). 例9 解 4 2 2 4 6 4 2 0 2 4 6 而 x y 解 复习思考题 那么,在什么条件下 Tn(x2) 一定是 f (x2) 的 2n 阶 泰勒多项式? 罗尔定理 Lagrange 定理 柯西定理 泰勒公式 罗必塔法则 条 件，结论 小结与思考判断题 返回 后页 前页 * 返回 后页 前页 * * §3 泰勒公式 教学内容:带佩亚诺余项和拉格朗日余项泰勒公式； 麦克劳林公式及在近似计算中的应用． 教学重点:带拉格朗日余项泰勒公式,麦克劳林公式． 教学难点:泰勒公式的证明． 教学要求:理解带佩亚诺余项和带拉格朗日余项的泰 勒公 式,麦克劳林公式，熟记六个常见函 数的麦克劳林公式． §3 泰勒公式 §3 泰勒公式 多项式函数是最简单的函数.用多项 一、带有佩亚诺型余项的泰勒公式 三、在近似计算中的应用 二、带有拉格朗日型余项的泰勒公式 要内容,也是数学的研究课题之一. 式来逼近一般的函数是近似计算的重 返回 在 处可导, 由有限增量公式 当 充分小时, 可以由一次多项式 近似地代替, 其误差为 . 在许多情况下, 一、带有佩亚诺型余项的泰勒公式 是不够的, 而要考虑用较高次 误差仅为 的多项式来逼近 f , 使得误差更小, 分析: 1.若在 点相交 2.若有相同的切线 3.若弯曲方向相同 问题: 是否存在一个 n次多项式 使得 答案: 当 f (x)在点 x0 有n 阶导数时, 这样的 n 次多 设 则 有什么关系？ 项式是存在的. 现在来分析这样的多项式与 f (x) 即 上式表明 Pn(x) 的各项系数是由其在点 x0 的各阶 设 f (x) 在 x0 处 n 阶可导. 如果 导数所确定的. 即 则不难得到: 为 f (x) 在点 x0 的 n 阶泰勒多项式, 称 为泰勒系数. 确实是我们所需要的多项式. 定理 6.8 设 f (x) 在 x = x0 处有n 阶导数，则 即 只需证 因为由（1）式， 则当 连续使用 n –1 次洛 必达法则, 得到 证 设 式