4.3空间平面与直线.docVIP

§4.3 空间平面与直线（一） 教学目的：通过讲授，使学生掌握平面的点法式方程、一般式方程和截距式方程的求法，并了解特殊平面方程的特点，会求两平面间的夹角和点到平面的距离，会判断两平面的位置关系. 教学重点：平面的点法式方程、一般式方程和截距式方程的求法以及两平面间的夹角和点到平面的距离. 教学难点：求平面的方程 课堂安排： 复习：1. 向量的数量积及其坐标运算 2. 向量的向量积及其坐标运算 一 平面及其位置关系 （一）平面的方程 1.平面的点法式方程 （1） 定义 凡与平面垂直的非零向量，都称为平面的法向量. 一般用表示(如图所示)，平面的法向量不唯一. （2）平面的点法式方程 设平面过点，法向量为=，则其点法式方程为 推导过程如下：设为平面上任一点，则因为 向量⊥平面，平面，所以，⊥，由向量垂直的条件得，又 = ， 因此 。 2. 平面的一般式方程 方程 (不全为零)，称为平面方程的一般式. 注：从一般式中可以看出平面的法向量为=，即其坐标为的系数. 例1 求满足下列条件的平面方程 （1）平面过点A（1，-1，2），且与向量=(2 , 0 , -3)垂直. （2） 平面过点A（-1，2，0），且垂直于平面和平面 （3）平面过点A（1，1，3），B（2，-5，0），C（4，-1，1）. 解 （1）由平面的点法式方程得所求平面方程为 即 （2）分析：因为所求平面与平面和平面垂直，所以其法向量与所给平面的法向量垂直，即可以得 又 因为平面过点A（-1，2，0）， 所以根据点法式方程可得 即 （3）设平面方程为 因为平面过点A（1，1，3），B（2，-5，0），C（4，-1，1） 所以 得 因为不全为零，所以 所以平面方程为 为便于学习和记忆,下面将各种特殊位置的平面的一般方程形式及系数特征列表如下: 平面位置 平面方程 系数特征 简要证明 过原点 将(0,0,0,)代入方程得 平 行 于 轴 轴 轴 过 轴 由过(0,0,0,), (1,0,0,)点得 轴 由过(0,0,0,), (0,1,0,)点得 轴 由过(0,0,0,), (0,0,1,)点得 平 行 于 坐标面 由法向量=(0,0,1)得 坐标面 由法向量=(0,1,0)得 坐标面 由法向量=(1,0,0)得 重 合 于 坐标面 =(0,0,1),过(0,0,0)点 坐标面 =(0,1,0),过(0,0,0)点 坐标面 =(1,0,0) ,过(0,0,0)点 例2 指出下列平面的位置特点： (1) ； (2) ； (3) ； (4) . 解 (1) 方程中，, 所以方程表示的平面过原点； (2) 方程中，, 所以方程表示的平面过轴； (3) 方程中，, 所以方程表示的平面与坐标面平行； (4) 方程中，, 所以方程表示的平面与轴平行. 例3 求满足下列条件的平面方程 （1）过点及轴的平面 ； （2）过点、,并与轴平行的平面； 解 (1) 因为平面过轴， 所以设所求方程为 又平面过点，于是将坐标代入所设方程得 ,解得， 于是平面方程为, 而由分析知, 因此所求平面方程为 (2) 因为平面平行于轴, 所以设所求方程为 又平面过点、, 于是将坐标代入所设方程得, 解之得 从而平面方程为, 而由分析知, 因此所求平面方程为 3. 平面的截距式方程 平面方程 为平面的截距式方程. 其中分别称为平面在坐标轴上的截距. 例4 将平面0的方程化为截距式，并求该平面与各坐标轴的交点坐标. 解 将平面方程化为截距式得： 所以该平面与轴的交点分别为： . 例5 已知平面与轴的交点分别为,求该平面的一个法向量. 解 由题意得平面的截距式方程为, 化为一般式方程得 所以该平面的一个法向量为 练习： A 1 3 (二) 两平面的夹角 1. 定义 两平面法向量所夹不大于直角的角,称为两平面的夹角，记作. 2. 两平面夹角的计算公式 设平面的方程为 ，法向量为，平面 的方程为 ，法向量为则