4-5习题答案(38p).pptVIP

第四章 线性方程组作业答案(33p) 1.若线性方程组AX = b 有解, 一、填空题 则 R(A b) 且A的秩为3, 应满足_____. 解: 非齐次方程组有解的充要条件是其系数矩阵的秩 与增广矩阵的秩相等. 现已知系数矩阵的秩为3, 故增 秩为3 应填:秩为3. 广矩阵的秩应等于3. 若线性方程组AX = b 无解, 则 R(A b) 且A的秩为3, 应满足______. 非齐次方程组有解的充要条件是其系数矩阵的秩与 增广矩阵的秩相等. 现已知系数矩阵的秩为3, 只要增 而增广 秩为4 其秩只能为4. 故应填:秩为4. 广矩阵的秩大于3, 线性方程组AX=b 即无解. 矩阵比系数矩阵多一列, 2.设A是方阵, 线性方程组AX = X 有非零解的充分 必要条件是______________. 解: 由于A是方阵, 非齐次线性方程组AX = X 有非零 解, 则有: 应填 :| A – I | = 0 . 行列式为零. 即有|A–I | = 0 . | A – I | = 0 此齐次线性方程组有非零解的充要条件是其系数 3. 设n元线性方程组 Ax = ? 有解, 若 R(A) = n – 2 , 则 Ax = ? 的解空间的维数为_____. 解: 且其系数矩阵A 可知: 因此解空间的维数为2. 从 故应填: 2 . 2 由于n元线性方程组 Ax = ? 有解, 的秩为n – 2 , 应包含2个解向量, 4.向量 (2,0,0) 在基 (1,1,0) , (1,0,1) , (0,1,1)下的坐标 解: 设坐标为 则有: 是_________. (1,1,–1) 其基础解系 即有 ① ③与④联立可得: ⑤代入④可得: ④ 坐标是(1,1,–1). 故应填(1,1,–1). ⑤ ② ③ ①–② 得: ⑤代入①可得: 解: 所给齐次线性方程组含有3个未知量3个方程, 若它仅有零解, 由于 则其系数行列式不得为零. 故应选 (C ) . 二.选择题 (1) 若齐次线性方程组 仅有零解, 则有 ( ). (A) k = 4 或 k = –1 ; (B) k = – 4 或 k = 1 ; (C ) k ≠ 4 且 k ≠ –1 ; (D) k ≠ – 4 且 k ≠ 1 . C (2) 线性方程组 有唯一解的条件是( ). (A) m = n ; (B) R(A) = R(A b) = n ; 解: (C) Ax = ? 只有零解; (D) (A),(B),(C)都不对. 的系数矩阵为 线性方程组 表明此 若此方程组有唯一 则必须满足两个条件: 一是m = n ; 二是系数矩阵的 选项(A) 线性方程组含m个方程n个未知量. 解, 秩与增广矩的秩相等且等于未知量的个数n. 故不正确. 选项(B)成立时, 两个条件都满足, 选项(C)成立的条件是 但此时增广矩阵的秩未必为n, 故选 故选项 B m = n且R(A) = n , 只满足第一个条件, (C)也不正确. (B)正确. (3) 方程的个数少于未知量的个 若方程组 Ax = ? 中, 数, 则有( ). (A) AX = ? 一定无解; 解: 而其余选项均不正确. (B) AX = ? 必有非零解; (C) AX = ? 仅有零解; (D) AX = ? 的解不能确定. 当齐次方程组的方程个数少于未知量的个数时, 此时AX = ? 因此选项(B)正确. B 其系数矩阵的秩必小于未知量的个数n , 必有非零解. 解: 三.求下列齐次线性方程组的基础解系: (1) 由于n–r = 3 – 2 = 1 , 与原方程组同解的方程组为: 可取 为自由未知量. 令 解得 故基础解系为 解: (2) 由于n–r = 4 – 2 = 2 , 与原方程组同解的方程组为: 可取 为自由未知量. 令 解得 故基础解系为 四. 求方程组 的特解. 解: 由于 可取 为自由未知量. 令 与原方程组同解的方程组为: 解得: 方程组的特解为: (不唯一) 五. 解下列线性方程组 1. 解: 由于 n – r =4 – 2 = 2 , 可取 为自由未知量. 与导出组同解的方程组为 基础解系为 令 解得: 与原方程组同解的方程组为 原方程组的特解为: 方程组的通解为: 令 解得: 2. 解: 基础解系为: 方程组的通解为: 令 解得: 与原方程组同解的方程组为 由于n – r =4 – 2 = 2 , 可取 为自由未知量. 3. 解: 导出组为: 由于n – r = 3 –2 = 1, 可取 为自由未知量. 令 可得 基础解系为: 与原方程组同解的方程组为: 令 可得 特解为: 方程组的通解为: 4. 解: 导出组为: 由于 可取 为自由未知量. 与原