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2007年上海市普通高等学校春季招生考试数 学 试 卷 考生注意：1．答卷前，考生务必将姓名、高考座位号、校验码等填写清楚。2．本试卷共有21道试题，满分150分。考试时间120分钟。一填空题 （本大题满分44分）本大题共有11题，只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分。1．计算 ．2．若关于x的一元二次实系数方程有一个根为（是虚数单位），则 ． 3．若关于x的不等式的解集为，则实数 ． 4．函数的最小正周期为 ． 5．设函数是奇函数．若，则 ． 6．在平面直角坐标系中，若抛物线上的点到该抛物线的焦点的距离为6，则点P的横坐标 ． 7．在平面直角坐标系中，若曲线与直线有且只有一个公共点，则实数 ． 8．若向量，满足，，，则向量，的夹角的大小为 ． 9．若为方程的两个实数解，则 ． 10．在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多12人，从这些教师中随机挑选一人表演节目．若选到男教师的概率为，则参加联欢会的教师共有 人． 11．函数 的反函数是 ． 选择题 （本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得 4分，否则一律得零分。12．若集合，，则“”是“”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件13．如图，平面内的两条相交直线和将该平面分割成四个部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ （不包括边界）．若，且点落在第Ⅲ部分，则实数满足 A． B． C． D． 14．下列四个函数中，图像如图所示的只能是A． B． C． D． 15．设是正实数，以下不等式① ，② ，③ ，④ 恒成立的序号为 A．①、③B．①、④C．②、③D．②、④ 三解答题 （本大题满分90分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤。16．（本题满分12分） 如图，在棱长为2的正方体中，分别是和的中点，求异面直线与所成角的大小 （结果用反三角函数值表示）． 17．（本题满分14分） 求出一个数学问题的正确结论后，将其作为条件之一，提出与原来问题有关的新问题，我们把它称为原来问题的一个“逆向”问题． 例如，原来问题是“若正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，求该正四棱锥的体积”．求出体积后，它的一个“逆向”问题可以是“若正四棱锥底面边长为4，体积为，求侧棱长”；也可以是“若正四棱锥的体积为，求所有侧面面积之和的最小值”． 试给出问题“在平面直角坐标系中，求点到直线的距离．”的一个有意义的“逆向”问题，并解答你所给出的“逆向”问题．18．（本题满分14分） 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．如图，在直角坐标系中，设椭圆的左右两个焦点分别为．过右焦点且与轴垂直的直线与椭圆相交，其中一个交点为．（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的一个顶点为，直线交椭圆于另一点，求△的面积． 19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分．某人定制了一批地砖．每块地砖 （如图1所示）是边长为米的正方形，点E、F分别在边BC和CD上， △、△和四边形均由单一材料制成，制成△、△和四边形的三种材料的每平方米价格之比依次为3:2:1．若将此种地砖按图2所示的形式铺设，能使中间的深色阴影部分成四边形．（1）求证：四边形是正方形；（2）在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省？ 20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分4分，第3小题满分8分 通常用分别表示△的三个内角所对边的边长，表示△的外接圆半径． （1）如图，在以为圆心、半径为2的⊙中，和是⊙的弦，其中，，求弦的长； （2）在△中，若是钝角，求证：； （3）给定三个正实数，其中．问：满足怎样的关系时，以 为边长，为外接圆半径的△不存在、存在一个或存在两个（全等的三角形算作同一个）？在△存在的情况下，用表示．21．（满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分． 我们在下面的表格内填写数值：先将第1行的所有空格填上1；再把一个首项为1，公比为的数列依次填入第一列的空格内；然后按照任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之和的规则填写其它空格． 第1列 第2列 第3列 第列 第1行 1 1 1 1 第2行