11.2.3.4方向导数与梯度-第四节 多元函数的泰勒公式与极值-多元函数微分法在几何上的应用-.pptVIP

方向导数与梯度 一、问题的提出 二、方向导数 三、梯度 四、小结 第三节 ?多元函数微分法在几何上的应用 一、空间曲线的切线与法平面 二、曲面的切平面与法线 四、小结 第四节 多元函数的泰勒公式 一、二元函数的泰勒公式 2. 二元函数的泰勒公式 第十五章 多元函数的极值和最值 三、条件极值拉格朗日乘数法 四、小结 从而，切线方程为： 若 ，则 或 所求切线方程为 法平面方程为 设曲面方程为 曲线在M处的切向量 在曲面上任取一条通过点M的曲线 由 得 令 则 切平面方程为 令 ，得 其中 法线方程为 曲面在M处的法向量即 垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量. 特殊地：空间曲面方程形为 曲面在M处的切平面方程为 曲面在M处的法线方程为 令 切平面上点的竖坐标的增量 因为曲面在M处的切平面方程为 三、全微分的几何意义 其中 解 切平面方程为 法线方程为 解 令 切平面方程 法线方程 解 设 为曲面上的切点, 切平面方程为 依题意，切平面方程平行于已知平面，得 因为 是曲面上的切点， 所求切点为 满足方程 切平面方程(1) 切平面方程(2) 空间曲线的切线与法平面 曲面的切平面与法线 （当空间曲线方程为一般式时，求切向 量注意采用推导法） （求法向量的方向余弦时注意符号） 一元函数的泰勒公式： 1. 问题的提出： 问题： 能否用多个变量的多项式来近似表达一个给定的 多元函数，并能具体地估算出误差的大小. (1) 其中记号 表示 表示 一般地,记号 称为拉格朗日型余项. 上式称为二元函数的拉格朗日中值公式. 例 11.4.1 解 其中 实例：某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每瓶进价1元，外地牌子每瓶进价1.2元，店主估计，如果本地牌子的每瓶卖 元，外地牌子的每瓶卖 元，则每天可卖出 瓶本地牌子的果汁， 瓶外地牌子的果汁问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可取得最大收益？ 每天的收益为 求最大收益即为求二元函数的最大值. 1.问题的提出 2、二元函数极值的定义 (1) (2) 例 例 3、多元函数取得极值的条件 证 仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点. 驻点 极值点 问题：如何判定一个驻点是否为极值点？ 注意： * 二、方向导数 一、问题的提出 三、梯度 四、小结 实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)．在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热．假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比．在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？ 问题的实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方向（即梯度方向）爬行． 第二节 方向导数与梯度 讨论函数 在一点P沿某一方向的变化率问题． （如图） 1.定义 当 沿着 趋于 时， 是否存在？ 记为 证明 由于函数可微，则增量可表示为 两边同除以 得到 故有方向导数 解 解 由方向导数的计算公式知 故 推广可得三元函数方向导数的定义 结论 等高线 梯度为等高线上的法向量 在几何上 表示一个曲面 曲面被平面 所截得 所得曲线在xoy面上投影如图 对方程 求全微分，可得 由此得切线的方向向量为 ，且函数 在 即 另外，函数 在点 处的切线方程为 或 点 的梯度 垂直于等值线 在点 处的切线，因此 是等值线上点 处的法向量. 梯度与等高线的关系： 等高线的画法 播放 例如, 类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的最大值. 梯度的概念可以推广到三元函数 解 由梯度计算公式得 故 1、方向导数的概念 2、梯度的概念 3、方向导数与梯度的关系 （注意方向导数与一般所说偏导数的区别） （注意梯度是一个向量） 一、空间曲线的切线与法平面 二、曲面的切平面与法线 四、小结 三、全微分的几何意义 设空间曲线的方程 (1)式中的三个函数均可导. 第三节 ?多元函数微分法在几何上的应用 考察割线趋近于极限位置——切线的过程 上式分母同除以 割线 的方程为 曲线在M处的切线方程 切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量. 法平面：过M点且与切线垂直的平面. 解 切线