Compressive sensing中文原创翻译.pdfVIP

压缩感知 RichardBaraniuk RichardBaraniuk RRiicchhaarrddBBaarraanniiuukk 莱丝大学 IEEE 2007 7 24 IEEE 2007 7 24 IIEEEEEE信号处理杂志课堂笔77月2244卷 1 1 11 范畴 香农和奈奎斯特采样定理告诉我们对一个信号进行均匀采样时要想不丢失信息 采样频率不能低于二倍带宽。在许多应用当中，包括数字图像和视频摄像中，奈奎 斯特频率会很高以至于采样量非常大，不得不压缩来储存或者传输。在其他的应用 中，包括图像系统（医学扫描仪，雷达）以及高速模数转换器中，不断提高的采样 频率或采样量超越了现在技术水平，代价很高。 在这堂课，我们将学到一种新的技术，用压缩感知解决这些问题[1,2]。我们将 用一种更加普通的线性测量优化求解方案代替传统的采样和信号重构算法，以远低 于奈奎斯特采样频率获得某种信号。 2 2 22 相关 在这呈现的想法可以用来例证数据获得，线性代数，基础扩展，反相问题，压 缩，维度降低和许多问题的优化求解之间的联系，从本科或者研究生的信号处理到 统计和应用数学。 3 3 33 必备条件 理解和讲解这个材料的条件是线性代数，基础优化，基础概率。 4 4 44 问题陈述 奈奎斯特采样频率完整地通过探索带宽限制描述了一个信号。我们的目标是通 过探索信号的可压缩性减少完整描述信号所需的测量。这个方法是我们的测量不是 点采样而是更普遍的信号的线性函数。 N 假如一个时域有限长一维离散信号x，我们把它当做R 空间中一个列向量， N 其中 中元素为 ， 我们把一个图像或者高维数据投影到一个长的 R x[n] n=1,2,...,N. 一维向量中。 N N 任何信号在 中可以用基础的 的向量 来表示，简单起见，假设基 R N×1 {ϕ} i i=1 是正交的。通过把向量{ϕ}转置形成基矩阵Ψ:=[ϕ |ϕ |...|ϕ ]，我们可以把任意 i 1 2 N 信号 表示成 x N x= ∑sϕ 或者x= Ψs (1) i i i=1 T T 其中 是 行权值系数向量， ，其中 表示转置。很明显， s N×1 s = x,ϕ =ϕ x . i i i 和 是同一信号的等价表示， 表示时域， 表示 域。 x s x s