8[1].4_多元复合函数的求导法则.pptVIP

* 解 设函数 f (u)可微, 在点(1, 2)处的全微分 全微分形式不变性 全微分的 运算法则 考研数学(三, 四) 填空4分 * 求 设函数z = f (x, y)在点(1,1)处可微, 且 解 由题设 * 多元复合函数求导法则 (链导法则) 三、小结 大体分三种情形 1. z = f (u,v), u = u(x, y), v = v(x, y)的情形; 2. z = f (u, v), u = u(x)和v = v(x)的情形, * 全微分形式不变性 (理解其实质) 求抽象函数的二阶偏导数特别注意混合偏导 3. z = f (u, x, y), 其中 u = u(x, y)的情形. * 思考题 正确的是( ). * 思考题解答 令 则 两边对t求导, 得 * 作业 习题8.4 (332页) 8.4 多元复合函数的求导法则 8.4 多元复合函数的求导法则 * 复合函数的求导法则 一阶全微分形式不变性 小结 思考题 作业 8.4 多元复合函数的求导法则 第8章 多元函数微分法及其应用 * 一、复合函数求导法(链导法) 复合函数求导法的思路 其导数公式是 多元复合函数求导法从一定意义上说, 可以认 为是一元复合函数求导法的推广. 构成的一元复合 对多元复合函数, 因变量对每一个自变量求导数也 如此, 不过, 因变量要通过各个中间变量达到自变量. 函数 * 构成x, y的复合函数z = f [u(x, y), v(x, y)]. 两个中间变量 两个自变量 且u(x, y), v(x, y)对x及对y的偏导数存在, 可微, 定理8.5 链导法则 证 将y固定, 若z = f (u, v) 合函数z = f [u(x, y), v(x, y)]对x及对y的偏导数存在, 且有公式 设z = f (u,v)与u = u(x, y), v = v(x, y) 则复 给x增量Δx, 相应地, u和v有增量 * 由于函数 z = f (u, v)在(u, v) 可微, 从而函数 z = f (u, v)也有相应的增量 知 上式两边同除以Δx, 得 显然, 可微定义 * 由于已知u(x, y), v(x, y)对x, y的偏导数存在, 因此 则 同理可证 * 变量树图 * 解 例 * 中间变量多于两个的情形 类似地再推广, 则复合 两个偏导数存在, 且可用下列公式计算: 三个中间变量两个自变量 当z = f (u, v, w)可微, 且u = u(x, y), v = v(x, y), w = w(x, y)在点(x, y)具有对x, y的偏导数, 函数z = f [u(x, y), v(x, y), w (x, y)]在对应点(x, y)的 * 对抽象函数在求偏导数时, 一般要设中间变量. 例 设 f具有二阶连续偏导数, 变量树图 u r s x t 或记 u对中间变量 r, s 的偏导数 注 从而也是自变量x, t 的多元复合函数, 解 都是 其复合结构与f 的复合结构相同. r, s 的函数, * u r s x t 变量树图 设 f具有二阶连续偏导数, * u r s x t 变量树图 设 f具有二阶连续偏导数, * 考研数学一,填空, 4分 考研数学二,三,四,填空, 4分 * 考研数学一, 填空4分 设函数 f (u,v)具有二阶连续偏导数, 解 * 考研题, 计算, 5分 解 * 函数f具有连续二阶偏导数, 解 得 例 * 由 例 解 现将 把下列表达式转换为极坐标系中的形式: 设u = f (x, y) 的所有二阶偏导数连续, 函数u = f (x, y)换成极坐标 的函数: 及 以及函数 对 的偏导数来表达. * 复合而成. r u θ x y (1) 及 * 得 r u θ x y * (2) r u θ x y 设 的所有二阶偏导数连续 * 同理可得(自己练) * 两式相加,得: * 用下列公式计算: 下面再给出几种常见情形的公式. 若函数z = f (u, v)可微, 且u = u(x)和v = v(x)对 则复合函数z = f [u(x), v(x)]对x的导 x导数均存在, 数存在, 1. z = f (u, v), u = u(x)和v = v(x)的情形. 中间变量为一元函数