三角形外心內心重心.pptVIP

* * 製作：立人國中 賴靜慧 三角形外心的介紹 作任意三角形三邊的中垂線，會有什麼發現呢？ 結論：作任意三角形三邊的中垂線 ，皆會交於一點 A B C O 銳角三角形 C A B C O A B O 直角三角形 鈍角三角形 中 垂 線 中 垂 線 中 垂 線 中 垂 線 中 垂 線 中 垂 線 中 垂 線 中 垂 線 中 垂 線 中垂線性質： 一線段的中垂線上任一點到線段兩端點等距離 A B C L M P 2 1 【已知】 △ABC，L為 的中垂線，與 【求證】 【證明】 ∵ M為 交於M P為L上一點 的中點∴ ∵L ∴ 在△BMP、 △CMP中 ∵ ∴ △BMP △CMP(SAS) 故 O A B C 即可畫出一圓，此圓稱為ΔABC的外接圓 O為外接圓的圓心，簡稱外心， ΔABC稱為圓O的內接三角形 作△ABC三邊的中垂線交於O，由前面介紹的中垂線性質 可知O到三角形的三頂點等距離。即： 所以如果以O為圓心， 為半徑 此圖可知銳角三角形的外心在Δ的內部 中垂線 中 垂 線 中 垂 線 那麼直角三角形和鈍角三角形的三邊中垂線的交點──外心，又會在什麼位置呢？ A O 直角Δ 外心在斜邊中點 B C =R(外接圓半徑)=斜邊長的一半 中垂線 中 垂 線 中垂線 O 鈍角Δ 外心在Δ外部 A C B 中 垂 線 中 垂 線 中 垂 線 外心還有 哪些重要的性質呢？ 則 ?BOC=2?A O是銳角?ABC的外心 ，在ΔABC中 [證明] 連 ∵ OA O是三角形ABC的外心 ? ? ?1= ?3 ? ?2= ?4 在ΔOAB中 ∵ = ?1 +?3 + ?2 +?4 = 2?3 + 2?4 = 2(?3+?4) = 2?A B C 2 4 A 6 O ?BOC = ?5 +?6 ∵∠5為△OAB的外角 ?∠5=∠1+∠3 又∠6為△OAC的外角 ∴∠6=∠2+∠4 (外接圓半徑) 在ΔOAC中 ∵ 1 3 5 O是鈍角?ABC的外心 則 ?BOC=360o-2?A [證明] 連 ∵ O是三角形ABC的外心 ? 在ΔOAB、ΔOAC中 =(180o -2?1 ) + (180o -2?2) ? ?1 =?ABO ?2 =?ACO 則?BOC = ?3 +?4 O A B C 1 2 3 4 =(180o -?1 -?ABO)+(180o -?2 -?ACO) =360o-2(?1+?2 ) =360o-2?A (外接圓半徑) 在ΔOAB中， ?3 =180o -?1 -?ABO 在ΔOAC中， ?4 =180o -?2 -?ACO 外心介紹完畢 製作：立人國中 賴靜慧 三角形內心的介紹 做任意三角形的三條內角平分線， 會有什麼發現呢？ A B C D F E A B C A B C D F E D F E 銳角三角形 直角三角形 鈍角三角形 結論： 任意三角形的三條內角平分線 皆會交於一點 × × ○ ○ ★ ★ × × × × ○ ○ ○ ○ ★ ★ ★ ★ 角平分線性質： 角平分線上任一點，到角的兩邊等距離 【已知】 B A C P D 於E E 【求證】 【證明】 ， 為角平分線 於D， 在ΔADP與ΔAEP中， 為角平分線 1 2 又 3 4 (公共邊) ΔADP ΔAEP(AAS) 故 且 作△ABC的三內角平分線，如圖交於I。 由前面介紹的角平分線性質可知：I到三角形的三邊等距離。 也就是說： 所以，如果我們以I為圓心， 為半徑，即可畫出一圓與△ABC相切。 此圓稱為△ABC的內切圓，I為內切圓的圓心〈簡稱為內心〉 稱為內切圓半徑r，△ABC稱為圓外切三角形。 由此圖可知：銳角三角形的內心在三角形內部。 A B C I D F E P Q R 那麼直角三角形和鈍角三角形的三內角平分線的交點──內心，又會在三角形的什麼位置呢？ A B C I 直角三角形的內心在三角形的內部 鈍角Δ 內心也在Δ內部 A C B I 內心還有 哪些重要的性質呢？ 繼續看下去喔！ A B C I E F I為△ABC的內心，則 【證明】 在△ABC中，∵I為內心 ∴ 為角平分線 ∠1=∠2 ∠3=∠4 1 2 3 4 ∠BIC＝180°－∠2－∠4 =180°- =180°- =180°- =180°- 90°+ =90°+ A B C I D E F 如圖：I為△ABC的內心， 為內切圓半徑r △ABC周長s 則△ABC面積= 【證明】 連 △ABC面積= △AIB面積+ △BIC面積+ △CIA面積 + + + + A B C I D E F 如圖：I為△ABC的