w3.2函数的单调性及极值（二） 高等数学 专升本 同济第六版.pptVIP

函数的最大值和最小值 结论 函数的最大值和最小值有可 能在 驻点处、区间的端点处和连续但不可导 点处取得. 函数的最大值和最小值 求函数的最值的步骤 1、求函数的驻点和导数不存在点； 2、算出驻点、导数不存在点和区间端点的 函数值； 3、比较上述函数值,其中最大(最小)者就是 函数 在这个区间上的最大(最小)值 函数的最大值和最小值 例3 求函数 在 上 的最大值与最小值 解： 令 解得驻点为 函数的最大值和最小值 的最大值为142，最小值为7. 函数的最大值和最小值 课堂 练习 14、求函数 在 上 的最大值与最小值 提示： 在 上是增函数. P47 函数的最大值和最小值 的最小值为 最大值为 函数的最大值和最小值 说明 1、若函数 在 内单调， 则函数的最值必在区间端点取得. 2、若函数在讨论的区间内 仅有一个极值点， 则该点处的函数 值必定是函数的最值. 函数的最大值和最小值 3、在实际问题中， 所讨论的问题在它 所对应的区间内只有一个驻点， 一般就可以断定该驻点处的函数 值就是所需要的最值. 实际问题中的最大值最小值问题 例4 铁路 公路 已知铁路线上AB段的距 离为100km,工厂C距A处为 20km,AC垂直于AB.为了运输需 要,要在AB线上选定一点D向工厂修筑一条公路,已知 铁路每公里货运的运费与公路上每公里货运的运费之 比为3：5 . 为了使货物从供应站B运到工厂C的运费 最省,问D应选在何处？ 工厂 铁路 公路 工厂 解： 设 则 设从B点到C点需要的总运费为 铁路每公里的 运费为 是某个正数),则 实际问题中的最大值最小值问题 实际问题中的最大值最小值问题 令 即 整理，得 实际问题中的最大值最小值问题 两边平方，得 即 解得 (舍去) 实际问题中的最大值最小值问题 故当AD=15km时,总运费为最省. 实际问题中的最大值最小值问题 随堂练习 P48 16、设有边长为 的正方形铁皮，从四个角截去 同样的小方块,作成一个无盖的方盒子.问小方块的 边长为多少时才能使盒子容积最大？ 实际问题中的最大值最小值问题 提示： 设小方块的边长为 方盒的容积为V，则 实际问题中的最大值最小值问题 令 解得 (舍去) 小方盒边长为 时才能使盒子容积最大. 小结 2、最值问题的解决,要多加练习， 3.2函数的单调性和极值 1、掌握函数的极值的判定定理， 并能解决简单问题. 掌握其解题的技巧. 【思考题】 判断下列结论是否正确 1．若函数 在 内单调增加且可导，则在 内 . 2．可导函数的极值点必是函数的驻点． 3．在 内可导函数 只有一个极大值点， 则这个极大值点是 在 内的最大值点． 4．若 ，则 是 的驻点但不是极值点． (二) 练一练 1、下列函数中,在区间 满足罗尔 中值定理条件的是( ) 回顾内容 回顾内容 2、函数 在 内是( ) A、单调增加 B、单调减少 C、不单调 D、不连续 分析： 故函数在其定义域内是单调增加. A D 3、函数 单调减少区间是( ) 分析： 即 ( 极小值 ). 函数的极值及其求法 一. 函数的极值 1. 定义 设 f(x)在区间(a,b)内有定义, 是(a,b)内的一点. 如果对于 的一个去 心邻域内的任何点 x , 都有 则称 是f(x)的一个极大值 极大值与极小值统称为极值, 使函数取得极值的点称为极值点. 函数的极值及其求法 注 1、极值是局部概念, 最值是全局概念， 极小值不一定小于极大值. 2、极值点不能在端点. 2. 极值点的必要条件 函数的极值及其求法 注 1、满足 的点 称为 的驻点 2、可导的极值点一定是驻点， 但驻点 不一定是极值点. 设 在 处可导且取得极值, 则 函数的极值及其求法 如： 在 处有 但在 处有不是极值点 y x o x2 x3 x1 函数的极值点可能在何处取？ 思考题 函数的极值及其求法 函数的极值及其求法 二. 函数的极值点的判别方法 1、定理(第一充分条件) 设f(x)在 的一个邻域内可导且 或 不存在,但在x0 连续,则 若当 时, 当 时, 则f(x)在 处取得极大值