数学建模————计算方法.pptVIP

* 韶关学院数学与信息科学学院－－郑华 * 最小二乘问题 问题：当 时，求 ，使得 理论结果：求解最小二乘问题等价于求解 MATLAB命令： 韶关学院数学与信息科学学院－－郑华 Media Computing Web Intelligence Lab Dept of Computer Science Engineering Fudan University 计 算 方 法 郑 华 * 韶关学院数学与信息科学学院－－郑华 * 简介 什么是计算方法？ 实际问题→数学模型→模型求解 计算方法研究的主要内容：怎样利用计算机求解数学问题（数学模型的求解）。 参考资料：《数值代数》、《数值逼近》、《微分方程数值解》、《数值分析》、《计算方法》等书籍. * 韶关学院数学与信息科学学院－－郑华 * 内容概要 插值与拟合 数值积分 常微分方程数值解 数值代数 * 韶关学院数学与信息科学学院－－郑华 * 插值与拟合 什么是插值？ 例：下面是通过测量所得的一张正弦函数表： x 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 sinx 0.0998 0.1987 0.2955 0.3894 0.4794 0.5646 问：x取其他值时，其正弦函数值是多少？例如sin0.35＝？ 本例的0.1，0.2，…，0.6称为节点。 * 韶关学院数学与信息科学学院－－郑华 * 插值与拟合 插值的定义：利用已有的节点信息，构造简单函数 近似表示复杂函数 ，要求满足插值条件 。 哪些函数是简单函数？ 多项式、三角函数。 插值的分类： 多项式插值：用多项式作近似（Lagrange插值） 三角函数插值：用三角函数多项式作近似（Fourier级数） * 韶关学院数学与信息科学学院－－郑华 * 多项式插值 Lagrange插值、Newton插值 问题：已知 ， ，求次数不超过n的多项式 ，满足插值条件 . Lagrange插值公式： 其中 是Lagrange插值基函数. 例： 时，称为线性插值: back * 韶关学院数学与信息科学学院－－郑华 * 多项式插值 Newton插值公式： 其中 称为k阶差商. 例： 时， * 韶关学院数学与信息科学学院－－郑华 * 多项式插值 Lagrange插值和Newton插值特点： n+1个插值条件决定次数不超过n的多项式，插值的结果无穷次可微. 方法简单，Newton插值公式具有递推性. 变形：取等分节点，构造等距节点插值公式（可参考相关资料） * 韶关学院数学与信息科学学院－－郑华 * 多项式插值 Lagrange插值和Newton插值的缺点 利用给出的节点信息使用多项式插值，插值多项式的次数越高，对原函数的近似越好？ 19世纪Runge给出了一个反例，说明了插值多项式次数高并不意味着近似程度好. （Runge现象） 多项式次数太低和太高都会导致误差大，怎样解决误差的问题？ 分段低次处理！ * 韶关学院数学与信息科学学院－－郑华 * 多项式插值 分段低次插值 对定义域分段，在每一段上进行低次插值.例：分段线性插值即用折线把所有函数点连接起来. 优点：近似程度高，随着插值节点的增多，插值多项式一致收敛. 缺点：插值函数可能不可微. * 韶关学院数学与信息科学学院－－郑华 * 多项式插值 进一步的改进： 三次样条插值：引进边界条件，插值函数是分段三次多项式、并且满足两次连续可微. 其他多项式插值： Hermite插值：不但要满足插值条件，还要满足在节点上的导数要求. 余项估计（参看相关资料） * 韶关学院数学与信息科学学院－－郑华 * 拟合 什么是拟合？ 例：已知某物体在做匀速直线运动，受环境影响，其行进方向可能有所偏差，以下是不同时刻测出的数据，根据这些数据确定其理论上的行进路线，尽量使得误差最小。 时间 t(横轴) 1 2 3 4 5 6 距离 s(纵轴) 0.31 0.49 0.72 0.91 1.05 1.28 函数参考表达式： * 韶关学院数学与信息科学学院－－郑华 * 拟合 拟合的定义：对于给定的数据点信息，找简单函数，使得该简单函数和已知数据点的偏差最小。 简单函数怎样选？怎样刻画偏差？ 拟合方法分类： 最小二乘曲线拟合 指数拟合 正交函数拟合 * 韶关学院数学与信息科学学院－－郑华 * 插值与拟合 插值和拟合的联系： 都是利用已知数据点，构造简单函数描述未知函数或复杂函数. 插值和拟合