同济大学考研my场波教案-5.pptVIP

已知在直角坐标系中，泊松方程及拉普拉斯方程均可分解为三个坐标分量的标量方程。因此，前述的格林函数法以及分离变量法均可用于求解矢量磁位 A 的各个直角坐标分量所满足的标量泊松方程及拉普拉斯方程。此外，镜像法也可适用于求解恒定磁场的边值问题。 已知磁通表达式为 ，那么 再利用斯托克斯定理，得 由此可见，利用矢量磁位 A 计算磁通十分简便。 在无源区中，因J = 0，得 。可见，无源区中磁感应强度B 是无旋的。 因此，无源区中磁感应强度 B 可以表示为一个标量场的梯度，令 式中标量? m 称为标量磁位。因 ，由上式得 可见，标量磁位满足拉普拉斯方程。这样，根据边界条件，求解标量磁位满足的拉普拉斯方程，可得标量磁位，然后即可求出磁感应强度。但应注意，标量磁位的应用仅限于无源区。 例2 计算半径为a ，电流为 I 的小电流环产生的磁感应强度。 r z y x ? a r r - r e? ? x y O a r ? ? e? -ex ey e? 解 取球坐标系，令坐标原点位于电流环的中心，且电流环的平面位于xy 平面内，如图示。由于结构对称，场量一定与 ? 无关。为了计算方便起见，令所求的场点位于xz 平面，即? = 0平面内。 经过一系列演算，求得 式中 为小电流环的面积。 考虑到小电流环的磁矩 ，上式可表示为 根据 ，求得 可见，小电流产生的矢量磁位 A 与距离 r 的平方成反比，磁感应强度 B 与距离 r 的立方成反比。而且，两者均与场点所处的方位有关。 此式适用于磁矩为m ，位于坐标原点的任何取向的磁偶极子。 例3.4.2 应用磁矢位 A，求空气中一长直载流细导线的磁场。 解 ： 例 3.4.3 应用磁矢位分析两线输电线的磁场。 解：这是一个平行平面磁场。 由上例计算结果, 两导线在 P点的磁矢位 图3.4.3 长直载流细导线的磁场 图3.4.4 圆截面双线输电线 在工程数值中经常用此公式此公式计算磁通，并由此得到其它等效参数。 3) 在平行平面磁场中， ，等 A 线可表示磁感应强度B 线。 即平行平面磁场中的等 A 线可以代表 B 线。 可以证明：在轴对称磁场中， 代表 B 线。 2)从磁矢位 A 计算磁通 （韦伯） 在直角坐标系中，B 线方程为 等 A 线不是 A 线，只涉及 A的大小，不涉及方向。因此，等A线仅反映B的大小分布。 图3.4.2 A 线,等 A 线与 B 线关系 如前面例题，两线输电线的B线即等 A 线的方程为 等 A 线（B 线）是一束包围导线的偏心圆族。其圆心坐标是 圆的半径是 。 可见双线输电线的磁场的等 A 线 ( B 线 )的图形与静电场中两根线电荷的等电位线的图形是一致。 图3.4.5 双线输电线的磁场 图3.4.6 双线输电线的电场 解：采用圆柱坐标系， 且 例3.4.4 一半径为 a 的带电长直圆柱体，其电流面密度 , 试求导体内外的磁矢位 A 与磁感应强度 B。（导体内外媒质的磁导率均为 μ0 ） 边界条件 （参考磁矢位） （ 处 ） 由式 由式 代入通解式 通解为 磁感应强度 图3.4.8 长直带电圆柱导体 4) 微分方程法求A 3.5 磁位及其边值问题 3.5.1 磁位 的引出 恒定磁场无电流区域 ——标量磁位，简称磁位（Magnetic Potential），单位：A（安培）。 ? 磁位 仅适合于无自由电流区域，且无物理意义。 磁位 的特点： ? 等磁位面（线）方程为 常数，等磁位面（线）与磁场强度 H 线垂直。 ? 的多值性 则 在恒定磁场中， 设B 点为参考磁位， 由安培环路定律，得 推论 多值性 图3.5.5 磁位 与积分路径的关系 为了克服 多值性，规定积分路径不得穿过从电流回路为周界的 S 面（磁屏障面）。这样， 就成为单值函数，两点之间的磁压与积分路径无关。 图3.5.1 载流导线 I 位于无限大铁板上方的磁场分布 图3.5.2 线电流 I 与线电荷 产生的通量线与场线,等磁位线与等电位线的类比 图3.5.4 线电流 I 位于两铁板之间的磁场 图3.5.3线电荷 位于两平行导体间的