数值方法 第5章 板壳单元.pptVIP

③with Reduced Integration Int. J Num Meth. in Eng v01 12,1978,pp1059-107 ④J. L. Batog,k. J. Bathe, A study of Three-node Triangular plate Bending Elements, Int J Nam Methads in Eng. v0115, pp1771-1812,1980 ⑤k. J Bathe etal ,A simple and effective pipe Elbow Element-linear Analysis, J Applied Meth v01. 47,1980,pp93-100 （二）板 据小变形，中面不变的假设 （5-46） 据假定,可认为 （5-47） （5-48） 总势能 （5-49） K为剪应力非均匀修正系数，将式（5-35）、（5-34）代入（5-36）中，可得 * 第五章 板壳单元 一、弹性薄板 （一）薄板弯曲问题 按位移法求解薄板弯曲问题时，在相邻单元公共边上，不但要求挠度ω连续，而且要求ω的一阶导数连续，不易因此协调元外杂交,混合元等也常用。 在受垂直荷载后板挠度ω与其厚度相比是比较小时，分析弯曲问题可由下列基本假定： 1）可忽略正向正应力，并假定厚度不变 2）弯曲后法线仍为薄板弹性曲面法线 3）薄板中面上的各点，无平行于中面 的位移（即x,y向）。 这样板的全部应力，应变由挠度ω表示。 根据这三点假定，即得 由1） 从而有 ，即中面每一法线上的所有各占都有相同的位移ω。 (5-1) 由2）板弯曲后，板的法线与弹性曲面在x或y向的切线都保持互相垂直，无剪应变，即 亦即 (5-2) 由 可知 和 都不随之而变，对积分，得 （5-3） 式中 和 是任意函数 由3）假定 ， 由式（5-3）知 ，式（5-2）简化为 （5-4） 由式（5-4）得到薄板内各点的不等于零的三个应变分量 （5-5） 形变 （5-6） 应变 （5-7） 忽略法向应力 ，对各向同性材料板内各点应变可用应力表为 （5-8） 解得 用挠度ω表示板内各点应力分量如下： （5-9） 内力：取右图单位宽度板 由式（5-9）第（1）式，x向横截面正应力是 ，正比于z，只能合成一个弯矩 单宽弯矩 ， 代入（5-8）积分得 剪应力 合成的扭矩 y向截面 若记 （5-10） 合并x，y向弯矩、扭矩 （5-11） 薄板弹性矩阵 （5-12） 若用弯矩表示应力，可写为 （5-13） （二）矩形薄板单元 1．位移模式 若采取双三次，16自由度，每点有（ 即一个线位移，两个角位移，一个担率）若取12自由度的不完全双三次（Adini元）有 ，以此讨论： 设 是三个插值基，即 （1）在e上， 是不完全双三次多项式 （2） （5-14） 在其他三点， 连同它的两个一阶微商均为0，位移和虚位移表为 （5-15） （5-16） 基函数矩阵 形变列阵（广义应变列阵） （5-17） 写成5块 其中 （5-18） 2．单元刚度矩阵和单元荷载向量 虚功方程 （5-19） 左半中 ， 单元刚度阵 （5-20） 其中 称为单元刚度矩阵元素（块） （5-21） （具体表达式可见华东水利学院弹性力学问题的有限单元法（1974版）） 虚功方程右半 单元荷载向量 把[N]改写为 （5-22） 其中 则 单元荷载向量的元素（块） （5-23） 能较好适应复杂