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一、分式线性映射的概念 二、几种简单的分式线性映射 三、分式线性映射的性质 4. 保对称性 四、唯一决定分式线性映射的条件 两个典型区域间的映射 小结 小知识 默比乌斯资料 所求分式线性映射为 化简得: 注意: 本题中如果选取其他三对不同点, 也能得 出满足要求但不同于本题结果的分式线性映射. 可见, 把上半平面映射成单位圆的分式线性映射 不唯一, 有无穷多个. 另解: 设实轴映射成单位圆周, 则所求映射具有下列形式: . . . 由于z为实数时, 上半平面映为单位圆的分式线性映射的一般形式 说明: 解 依上题结论得 例2 从而所求映射为 解 . . . 例3 因此可设所求分式线性映射为: 故所求分式线性映射为: 将单位圆映为单位圆的常用映射． 例4 解 依上题结论得 复变函数与积分变换 称为分式线性映射. 说明: 否则, 由于 那末整个z平面映射成 w平面上的一点. 小知识 §6.3 分式线性映射 分式线性映射的逆映射, 也是分式线性映射. 2) 由 3) 分式线性映射 分式线性映射可分解为整式线性映射与 的复合. 一个一般形式的分式线性映射是由下列四种 特殊的简单映射复合而成: 例1 平移映射 (为方便起见, 令w平面与z平面重合) 二、几种简单的分式线性映射 平移映射 (为方便起见, 令w平面与z平面重合) 旋转映射 事实上, 设 那么 因此, 把z绕原点转角度 ， 相似映射 设 那么 相似映射特点：对于复平面上 任一点，保持辐角不变，而将 模放大或缩小． 关于横轴对称 反演映射 此映射可进一步分解为 欲由点z作出点w, 可考虑如下作图次序: 关键: 对称点的定义: 设C为以原点为中心, r为半径的圆周. 在以 满足关系式 那么就称这两点为关于这圆周的对称点. 规定: 无穷远点的对称点是圆心O. . . . 设P在C外, 从P作C的切线PT, 由T作OP的垂 作图: . 故可知: . 关于单位圆对称 关于实轴对称 . . 1.一一对应性 例如: 结论:分式线性映射在扩充复平面上一一对应. 2.共形性（保形性） 若规定: 两条伸向无穷远的曲线在无穷远点处 的交角, 等于它们在映射 下所映成的通过 原点的两条象曲线的交角. 综上所述知: 综上所述: 定理一 分式线性映射在扩充复平面上是共形映射． 3. 保圆性 所谓保圆性指在扩充复平面上将圆周映射为 圆周的性质. 特殊地，直线可看作是半径为无穷大的圆周. 1) 映射 特点: 所以此映射在扩充复平面上具有保圆性. 2) 映射 若z平面上圆方程为: 令 有 代入z平面圆方程得其象曲线方程: 即 所以此映射在扩充复平面上具有保圆性. 3) 分式线性映射 定理二 分式线性映射将扩充z平面上的圆周映射 成扩充w平面上的圆周, 即具有保圆性. 说明: 如果给定的圆周或直线上没有点映射成无 穷远点, 那末它就映射成半径为有限的圆周; 有一个点映射成无穷远点, 那末它就映射成直线. 如果 对称点的特性 . . . . . . . . 结论 充要条件是: 即分式线性映射具有保对称性. 定理三 证 分式线性映射 [证毕] 含有三个独立的常数． 定理 只需给定三个条件就能决定一个分式线性映射. 证 依次映射成 设 将相异点 由此得 所以三对对应点可唯一确定一个分式线性映射. 将上式整理即可得到形为　　　　　的分式线性 映射，从而证明了存在性． 重复上述步骤, 仍得到相同形式的结果. 唯一性： . . . 解 . . . 例1