高数复习题解答题详解.docVIP

三．计算题 1．设 ，而，求 、． 解 2．设 ，而，求、． 解： ， ． 3．设，求． 解 设，则，当时， ， 故， 4．设 求 ． 解 设，则，．有 ，因此， ． 5．计算 ，其中为平面，，，所围成的四面体． 解 原式 ． 6．计算 ，其中为球面及三个坐标面所围成的在第一象限内的闭区域． 解 原式 ． 计算 ，其中由球面与抛物面所围成（在抛物面内的那一部分）的闭区域． 解 柱面坐标下，， 所以由 ， 解得 因此， 原式 8． ，其中为直线及抛物线所围成的区域的整个边界． 解 记 则 ； 则 于是， 9．，其中为 曲线， ，上相应于从变到的这段弧． 解 ， 于是， ． 计算曲线积分，其中是点与点之间的直线段． 解 直线段的方向向量，则直线为 所以参数方程为 于是， 原式 11. 计算，其中为圆周上点到点的一段弧． 解： 直线段：，；直线段：， 记与直线段及所围成的闭区域为，则 ，， ………………4分 由格林公式，得 原式 12. 计算 ，其中为球面被平面截出的顶部。 解 为 , ，有 ， 则有 于是，原式 利用对称性，有 原式 13．计算 ，其中是：锥面被平面和所截得的部分． 解 ：，有 ． 于是， 14． ，其中为平面在第一卦限中的部分。 解 由平面方程 有 ． 于是，原式 ． 15.，其中为平面，， ，，， 所围成的立体的表面的外侧． 解：，，，于是 ， ，． 由高斯公式，有 ． 16.，其中为平面，， ，，， 所围成的立体的表面的外侧． 解 解法一： ， ， ，于是 ， ，． 由高斯公式，有 ． 解法二：由对称性有 ， 记在平面，，，， ，所在的部分为，，，，，。除，外，其余四片曲面在面上的投影为零，其中，取后侧，取前侧．因此 17．求幂级数收敛域及和函数． 解 ． 当时，将的值代入级数，可化成发散，当时，同样代入级数，可化成收敛．因此，所求收敛域为． 设 ，两边再对求导，得 两边再从到积分，得 即有 ，由于 ，因此 . 由于原级数在处也收敛,故 . 18．求幂级数收敛域及和函数． 解 ． 当时，将的值代入级数，可化成 ，发散，当时，可化成 ，发散。因此，所求收敛域为． 设 ，两边从0到积分，得 ， 两边求导，得 ， 因此 ，． 四、应用题 1．求旋转抛物面与平面之间的最短距离． 解 设为抛物面上任一点，则到与平面的距离为，即 设 令 ，解得 根据题意距离的最小值一定存在，且函数有唯一的驻点，故必在点处取得最小值，则距离亦在点处取得最小值，。 2．在平面上求一点，使它到，及三条直线的距离平方和最小． 解 设所求的点为，则 令 得驻点, 而 , , , , 故点到，及三条直线的距离平方和最小.． 3．某厂要用铁板做成一个体积为的无盖长方体箱体，怎样选取长、宽、高才是最省钢板． 解 设长方体的长、宽、高分别为，，，则表面积 。 由于 （，，） 构造函数 ， 有 ， 得 ， 这是唯一可能的极值点，因为由问题本身可知最小值一定存在，所以最小值就在这个可能的极值点处取得。也就是说，长、宽、高分别为时，才是最省钢板． 五、证明题 1.证明：在整个平面内是某一函数的全微分，并求． 证明 记，， 由于 ， 所以，存在这样的一个，使 2.证明: 设，其中为可导函数，证明：． 证明　设则，则 　 故 3．证明：曲线积分在整个平面内与路径无关，并计算曲线积分的值． 证明 因为 ， 有 ， 因此，积分与路径无关．于是， ． 4. 证明：． 证明：等式左边积分区域． ．