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空间内插技术 空间内插技术 空间内插（interpolation）是建立数字高程模型等连续分布地理现象的关键技术之一。 空间内插技术 常规的地理信息系统中，按照内插点的分布范围，可以将空间内插分为： 整体内插、 分块内插、和 逐点内插 三类。 空间内插技术 根据二元函数逼近数学面和参考点的关系，内插又可以分为： 二维插值、和 曲面拟合 两种。 空间内插技术 二维内插要求生成的曲面通过内插范围的全部参考点； 而曲面拟合则不要求生成的曲面严格包括参考点，但要求拟合面相对于已知参考点的高差平方和最小，即遵从最小二乘法则。 建模内插技术分类 ㈠ 分块内插法 分块内插方法是把内插空间划成若干分块，并对各分块求出各自的曲面函数来刻画曲面形态。 分块内插的主要问题是要考虑各相邻分块函数间的连续性问题。 ㈠ 分块内插法 分块内插具体的方法有： 线性内插 双线性多项式内插 二元样条函数内插 多面叠加内插 最小二乘配置 有限元法内插 1.分块内插 之 线性内插 线性内插是使用最靠近内插点的三个已知参考数据点，来确定一个平面，继而，求出该内插点在平面中的高程值。 设所求的函数形式为：z=a0+a1x+a2y，参数a0，a1，a2可以根据三个已知参考点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，P3(x3，y3，z3)计算求得。即： 1.分块内插 之 线性内插 1. 分块内插 之 线性内插 如果三个参考点所构成的几何形状趋近于一条直线时，上述计算会出现不稳定的解，对此，可以采用双线性内插方法。 如图所示，根据三个已知参考点（A，B，C）双线性内插p（xp，yp，zp）点高程值的算法是： 1. 分块内插 之 线性内插 1. 分块内插 之 线性内插 2.分块内插 之 双线性多项式内插 双线性多项式内插使用最靠近内插点的四个己知参考数据点组成一个四边形，确定一个双线性多项式来内插待插点的高程。 设确定的函数形式为：z=a0+a1x+a2y+a3xy。a0，a1，a2，a3是待求参数。设四个已知参考点为P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，P3(x3，y3，z3)，P4(x4，y4，z4)，则： 2.分块内插 之 双线性多项式内插 2.分块内插 之 双线性多项式内插 如果数据参考点呈正方形网格分布，则可以直接使用如下的双线性内插公式： 式中A，B，C，D分别为正方形四个网格点，l是网格的边长。 3.分块内插 之 二元样条函数内插 为了保证各分块曲面间的光滑性，可以按照弹性力学条件，使所确定的 n 次多项式曲面与其相邻分块的边界上所有n-1次导数都连续，这 n 次多项式就称为样条函数。 3.分块内插 之 二元样条函数内插 在方格网数据点条件下，用三次曲面法以每一个方格网作为分块单元加以说明。任一矩形ABCD可构成双三次曲面方程： 3.分块内插 之 二元样条函数内插 式中有16个待定系数，须列出16个方程。已知A、B、C、D四个角点坐标，只能列出四个方程，其余十二个方程需要根据下述力学条件建立，即： 3.分块内插 之 二元样条函数内插 ⑴相邻曲面拼接处在x和y方向的斜率应保持连续； ⑵相邻曲面拼接处的扭矩连续。 3.分块内插 之 二元样条函数内插 设R为沿x轴方向的斜率，S是沿y轴方向的斜率，扭矩为T，则： 3.分块内插 之 二元样条函数内插 使用差商代替导数，分别求四个角点 A（i，j）的导数，公式为： 3.分块内插 之 二元样条函数内插 因此，对于任一角点的导数值，需要使用它周围的8个角点高程求出。这样，在ABCD矩形当中，已知四角点高程zA，zB，zC，zD，以及它们的导数值RA，RB，RC，RD，SA，SB，SC，SD和TA，TB，TC，TD，就可建立16个方程，求解后得出曲面方程系数a1，a2，a3，…a16代入方程，就可解算某一点的高程。 4.分块内插 之多面叠加内插法 多面叠加内插的基本思想是： 任何一个规则的或不规则的连续曲面均可以由若干个简单面来叠加逼近。 4.分块内插 之多面叠加内插法 具体做法是在每个数据点上建立一个曲面，然后在Z方向上将各个旋转曲面按一定比例叠加成一张整体的连续曲面，使之严格地通过各个数据点。 多面叠加的数学表达式为： 4.分块内插 之多面叠加内插法 Q（x，y，xi，yi）为参加插值计算的简单数学面，称为多面函数的核函数；n为简单数学面的个数，它的值与分块扩充范围内参考点的个数相等；Ki（i=1，2，3，…n）为待定参数，它代表了第i个核函数对多层叠加面的贡献。 4.分块内插 之多面叠加内插法 为了计算方便，多层叠加面中的 n个核函数一般选用同一类型的简单函数，通常是围绕竖向轴旋转的曲面，这条竖轴通过每一参考点。 例如：锥面、双曲面、高斯曲面等。 ㈡