2019届高考数学（北师大版理）复习讲义：第四章+三角函数、解三角形+第3讲+三角函数的图像与性质.3+Word版含答案.docVIP

§4.3　三角函数的图像与性质 必威体育精装版考纲 考情考向分析 1.能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性． 2.理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值，图象与x轴的交点等)，理解正切函数在区间内的单调性. 以考查三角函数的图象和性质为主，题目涉及三角函数的图象及应用、图象的对称性、单调性、周期性、最值、零点．考查三角函数性质时，常与三角恒等变换结合，加强数形结合思想、函数与方程思想的应用意识．题型既有选择题和填空题，又有解答题，中档难度. 1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 (1)在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图像中，五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)． (2)在余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图像中，五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)． 2．正弦、余弦、正切函数的图像与性质(下表中k∈Z) 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图像 定义域 R R {x|x∈R，且x≠kπ＋} 值域 [－1,1] [－1,1] R 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 递增区间 [2kπ－π，2kπ] 递减区间 [2kπ，2kπ＋π] 无 对称中心 (kπ，0) 对称轴方程 x＝kπ＋ x＝kπ 无 知识拓展 1．对称与周期 (1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期． (2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期． 2．奇偶性 若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，则： (1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝＋kπ(k∈Z)； (2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)． 题组一　思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)y＝sin x在第一、第四象限上是增函数．(　×　) (2)由sin＝sin知，是正弦函数y＝sin x(x∈R)的一个周期．(　×　) (3)正切函数y＝tan x在定义域内是增函数．(　×　) (4)已知y＝ksin x＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1.(　×　) (5)y＝sin|x|是偶函数．(　√　) 题组二　教材改编 2．函数f(x)＝cos的最小正周期是． 答案　π 3．y＝3sin在区间上的值域是． 答案　 解析　当x∈时，2x－∈， sin∈， 故3sin∈， 即y＝3sin的值域为. 4．y＝tan 2x的定义域是． 答案　 解析　由2x≠kπ＋，k∈Z，得x≠＋，k∈Z， ∴y＝tan 2x的定义域是. 题组三　易错自纠 5．下列函数中最小正周期为π且图像关于直线x＝对称的是(　　) A．y＝2sin B．y＝2sin C．y＝2sin D．y＝2sin 答案　B 解析　函数y＝2sin的周期T＝＝π， 又sin＝1， ∴函数y＝2sin的图像关于直线x＝对称． 6．函数f(x)＝4sin的递减区间是． 答案　(k∈Z) 解析　f(x)＝4sin＝－4sin. 所以要求f(x)的递减区间， 只需求y＝4sin的递增区间． 由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)，得 －＋kπ≤x≤π＋kπ(k∈Z)． 所以函数f(x)的递减区间是 (k∈Z)． 7．cos 23°，sin 68°，cos 97°的大小关系是． 答案　sin 68°cos 23°cos 97° 解析　sin 68°＝cos 22°， 又y＝cos x在[0°，180°]上是减函数， ∴sin 68°cos 23°cos 97°. 题型一　三角函数的定义域和值域 1．函数f(x)＝－2tan的定义域是(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　由正切函数的定义域，得2x＋≠kπ＋，k∈Z，即x≠＋(k∈Z)，故选D. 2．函数y＝的定义域为． 答案　(k∈Z) 解析　方法一　要使函数有意义，必须使sin x－cos x≥0.利用图像，在同一坐标系中画出[0,2π]上y＝sin x和y＝cos x的图像，如图所示． 在[0,2π]内，满足sin x＝cos x的x为，，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为 . 方法二　利用三角函数线，画出满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)． 所以定义域为 . 3．(2017·郑州月考)已知函数f(x)＝sin，其中x∈，若f(x)的值域是，则实数a的取值范围是． 答案　 解析　∵x∈，∴x＋∈， ∵当x＋∈时，f(x)的值域为， ∴由函数的图像(图略)知≤a＋≤，∴≤a≤π. 4．(2018·长沙质检)函数y＝sin x－cos x＋sin