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高难拉分攻坚特训(三) 1．[2017·天津高考]已知函数f(x)＝设aR，若关于x的不等式f(x)≥在R上恒成立，则a的取值范围是(　　) A. B. C．[－2，2] D. 答案　A 解析　关于x的不等式f(x)≥在R上恒成立等价于－f(x)≤a＋≤f(x)， 即－f(x)－≤a≤f(x)－在R上恒成立， 令g(x)＝－f(x)－. 当x≤1时，g(x)＝－(x2－x＋3)－＝－x2＋－3 ＝－2－， 当x＝时，g(x)max＝－； 当x＞1时，g(x)＝－－ ＝－≤－2， 当且仅当＝，且x＞1，即x＝时，“＝”成立， 故g(x)max＝－2. 综上，g(x)max＝－. 令h(x)＝f(x)－， 当x≤1时，h(x)＝x2－x＋3－＝x2－＋3 ＝2＋， 当x＝时，h(x)min＝； 当x＞1时，h(x)＝x＋－＝＋≥2， 当且仅当＝，且x＞1，即x＝2时，“＝”成立， 故h(x)min＝2. 综上，h(x)min＝2. 故a的取值范围为. 故选A. 2．[2017·全国卷]如图，圆形纸片的圆心为O，半径为 5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D，E，F为圆O上的点，DBC，ECA，FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起DBC，ECA，FAB，使得D，E，F重合，得到三棱锥．当ABC的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm3)的最大值为________． 答案　4 解析　由题意知折叠以后三棱锥的直观图如图所示． 连接CO并延长交AB于H，连接DO、DH.则DO平面ABC. 令OH＝x cm，则OC＝2x cm，DH＝ (5－x) cm，得OD＝＝ cm，AB＝2x cm. 则VD－ABC＝×· ＝x2·＝x2 cm3， 令f(x)＝x2， 则f′(x)＝ ＝， 则当x(0,2)时，f(x)单调递增，当x(2,2.5)时，f(x)单调递减，所以当x＝2时，体积取最大值，为×4×＝4 cm3. 3．[2017·浙江高考]如图，已知抛物线x2＝y，点A，B，抛物线上的点P(x，y).过点B作直线AP的垂线，垂足为Q. (1)求直线AP斜率的取值范围； (2)求|PA|·|PQ|的最大值． 解　(1)设直线AP的斜率为k，k＝＝x－， 因为－x， 所以直线AP斜率的取值范围是(－1,1)． (2)联立直线AP与BQ的方程 解得点Q的横坐标是xQ＝. 因为|PA|＝＝(k＋1)， |PQ|＝(xQ－x)＝－， 所以|PA|·|PQ|＝－(k－1)(k＋1)3. 令f(k)＝－(k－1)(k＋1)3， 因为f′(k)＝－(4k－2)(k＋1)2， 所以f(k)在区间上单调递增，上单调递减，因此当k＝时，|PA|·|PQ|取得最大值. 4．[2017·山东高考]已知函数f(x)＝x2＋2cosx，g(x)＝ex(cosx－sinx＋2x－2)，其中e＝2.71828…是自然对数的底数． (1)求曲线y＝f(x)在点(π，f(π))处的切线方程； (2)令h(x)＝g(x)－af(x)(aR)，讨论h(x)的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值． 解　(1)由题意知f(π)＝π2－2. 又f′(x)＝2x－2sinx，所以f′(π)＝2π， 所以曲线y＝f(x)在点(π，f(π))处的切线方程为 y－(π2－2)＝2π(x－π)，即y＝2πx－π2－2. (2)由题意得 h(x)＝ex(cosx－sinx＋2x－2)－a(x2＋2cosx)． 因为h′(x)＝ex(cosx－sinx＋2x－2)＋ex(－sinx－cosx＋2)－a(2x－2sinx)＝2ex(x－sinx)－2a(x－sinx) ＝2(ex－a)(x－sinx)， 令m(x)＝x－sinx，则m′(x)＝1－cosx≥0， 所以m(x)在R上单调递增． 因为m(0)＝0，所以当x＞0时，m(x)＞0； 当x＜0时，m(x)＜0. 当a≤0时，ex－a＞0， 当x＜0时，h′(x)＜0，h(x)单调递减； 当x＞0时，h′(x)＞0，h(x)单调递增． 所以当x＝0时h(x)取到极小值，极小值是h(0)＝－2a－1. 当a＞0时，h′(x)＝2(ex－eln a)(x－sinx)， 由h′(x)＝0得x1＝ln a，x2＝0. a．当0＜a＜1时，ln a＜0， 当x(－∞，ln a)时，ex－eln a＜0，h′(x)＞0，h(x)单调递增； 当x(ln a,0)时，ex－eln a＞0，h′(x)＜0，h(x)单调递减； 当x(0，＋∞)时，ex－eln a＞0，h′(x)＞0，h(x)单调递增． 所以当x＝ln a时h(x)取到极大值， 极大值为h(ln a)＝－a[ln2a－2ln a