定积分的概念引入.docVIP

教 案 课题：定积分的概念 一、教学内容： 1. 定积分的概念及几何意义； 2. 利用定积分的概念或几何意义计算简单的定积分。 二、教材分析： 本次课是学生在导数概念和求曲边梯形的面积还有求变速直线运动的路程后的学习,定积分概念的建立为微积分基本定理的引出做了铺垫,起到了承上启下的作用。而且定积分概念的引入体现着微积分“无限分割、无穷累加”“以直代曲、以不变代变”的基本思想。所以,无论从内容还是数学思想方面,本次课在教材中都处于重要的地位。 三、教学目标： 通过前面学习的求曲边梯形的面积和求变速运动的路程，归纳它们的共同特征，为引出定积分的概念做好了前期工作，使学生了解定积分的实际背景，理解定积分的思想方法，构建定积分的认识基础;通过“数形结合”的方法使学生理解定积分的几何意义,掌握定积分的概念。 四、教学重点、难点 ： 教学重点：定积分的概念、定积分的几何意义； 教学难点：用定义求简单的定积分。 五、学情分析： 我所教授的学生从基础知识比较薄弱，有的接受有的很慢，有的根本听不懂，基于这些特点，结合教学内容，我以板书教学为主，多媒体教学为辅，把概念较强的课本知识直观化、形象化，引导学生探索性学习。 六、教学方法： 根据对学生的学情分析，本次课主要采用案例教学法，问题驱动教学法，讲与练互相结合，以教师的引导和讲解为主，同时充分调动学生学习的主动性和思考问题的积极性。 七、教学手段：传统教学与多媒体资源相结合。 八、教学过程： 1、复习前面所学的求曲边梯形的面积和求变速运动的路程，归纳它们的共同特征，由这两个实际例子引出定积分的概念. 复习1 求曲边梯形的面积． 分四步来解决： （1）分割(化整为零)　 （2）近似代替（以直代曲）　 （3）求和（求曲边梯形面积的近似值）　 （4）取极限（积零为整） 复习2 求变速直线运动的路程 （1） 分割（化整为零） （2）近似代替（以匀代变） （3）求和（求总路程的近似值） （4）取极限（积零为整） 总结：上述二问题一个是几何问题，一个是物理问题，但从数学的角度来考察，所要解决的数学问题相同：求与某个变化范围内的变量有关的总量问题．数学结构相同：求个乘积之和，当时的极限． 它们研究的对象有三个共同的特点： （1）都有一个在某一区间上的连续函数； （2）所研究的量在这一区间上具有可加性：即区间被分为个小区间时，所研究的量也被相应的分割为个部分量，且总量等于部分量之和； （3）在每一小区间上都可确定相应的部分量的近似值. 由此找到了研究这些问题的相同方法： （1）化整为零，找出局部近似值； （2）积零为整，求出和式的极限,得精确值. 2、定积分的概念. 定义1　设函数在区间上连续，用分点将区间等分成个子区间．在每个子区间上任取一点，作个乘积的和式．如果区间长度即时，和式的无限接近某个常数，则这个常数称为函数在区间上的定积分．记作，即　 ． 其中左端的符号“”称为积分号，称为被积函数，称为被积表达式，称为积分变量，称为积分区间，称为积分下限，称为积分上限． 定积分存在称函数在区间上可积，否则称为不可积． 有了定积分的概念，前面两个问题可以分别表述为： 曲边梯形的面积是曲线在区间上的定积分，即 ． 变速直线运动的物体所经过的路程是速度在时间区间上的定积分，即 由定积分的定义可知 (1)定积分只与函数的对应法则以及定义区间有关，而与表示积分变量的字母无关，因而 = (2)定积分的实质是一种特殊和式（个乘积之和） 的特殊极限（）．（该极限与的分法无关，与的取法无关）． 什么条件下可积？ 定理1　若函数在上连续，则函数在上可积． 例3 利用定义计算的值. 教师分析与引导： 因在区间内是连续的，故是存在的，是一常数，且此数的大小与的分法及对在区间的取法无关，为了好计算：把区间分成等份( 分点和小区间长度分别为 ( ( 取 ( 作积分和 ( 因为( 当 所以 ( 3、定积分的几何意义 从例子，我们看到当时，定积分表示曲边梯形的面积．当时，曲边梯形在轴的下方，定积分在几何上表示上述曲边梯形面积的负值．当在上有正、有负时，则定积分在几何上表示：曲线，直线，及轴所围成的几块曲边梯形面积的代数和(图4.3)，即 ．　　 例4 利用定积分的几何意义说明：　（． 教师分析与引导：这里被积函数，我们已经知道了定积分的几何意义，故让学生画出草图，观察易得此积分表示底为，高为1的矩形的面积． 所以有 例5 根据定积分的几何意义推出下列积分的值： （1）, （2）, （3）, （4）. 教师分析与引导：画出图形 （1）由下图（1）所示，. （2）由上图（2）所示，. （3）由上图（3）所示，. （4）由上图（4）所示，. 定理3　设函数在上连续，