测量实用数据处理插值与拟合.pptVIP

实用测量数据处理方法 ??? （1）直线拟合 设已知数据点 ,分布大致为一条直线。作拟合直线 ,该直线不是通过所有的数据点 ,而是使偏差平方和 为最小，其中每组数据与拟合曲线的偏差为 根据最小二乘原理，应取 和 使 有极小值，故 和 应满足下列条件： 实用测量数据处理方法 即得如下正规方程组 (2.7.1) 例1 设有某实验数据如下： 1 2 3 4 1.36 1.37 1.95 2.28 14.094 16.844 18.475 20.963 用最小二乘法求以上数据的拟合函数 解:把表中所给数据画在坐标纸上,将会看到数据点的分布可以用一条直线来近似地描述,设所求的 实用测量数据处理方法 拟合直线为 记x1=1.36, x2=1.37, x3 =1.95,x4 =2.28, y1 =14.094, y2= 16.844, y3=18.475, y4=20.963 则正规方程组为 其中 将以上数据代入上式正规方程组,得 实用测量数据处理方法 解得 即得拟合直线 实用测量数据处理方法 （2）多项式拟合 有时所给数据点的分布并不一定近似地呈一条直线,这时仍用直线拟合显然是不合适的,可用多项式拟合。对于给定的一组数据 寻求次数不超过m (mN ) 的多项式， 来拟合所给定的数据，与线性拟合类似，使偏差的 平方和 为最小 实用测量数据处理方法 由于Q可以看作是关于 ( j=0,1,2,…, m)的多元函数, 故上述拟合多项式的构造问题可归结为多元函数的极值问题。令 得 即有 实用测量数据处理方法 这是关于系数 的线性方程组，通常称为正规方程组。可以证明，正规方程组有惟一解。 例 2 设某实验数据如下： 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 5 2 1 1 2 3 用最小二乘法求一个多项式拟合这组数据 (2.7.2) 实用测量数据处理方法 解：将已给数据点描在坐标系中，可以看出这些点 接近一条抛物线，因此设所求的多项式为 由法方程组（2.7.2）, 经计算得 N=6, 其法方程组为 解之得 所求的多项式为 实用测量数据处理方法 （3）可化为线性拟合的非线性拟合 有些非线性拟合曲线可以通过适当的变量替换转化为线性曲线，从而用线性拟合进行处理，对于一个实际的曲线拟合问题，一般先按观测值在直角坐标平面上描出散点图，看一看散点的分布同哪类曲线图形接近，然后选用相接近的曲线拟合方程。再通过适当的变量替换转化为线性拟合问题，按线性拟合解出后再还原为原变量所表示的曲线拟合方程。 下表列举了几类经适当变换后化为线性拟合求解的曲线拟合方程及变换关系 实用测量数据处理方法 曲线拟合方程 变换关系 变换后线性拟合方程 实用测量数据处理方法 几种常见的数据拟合情况。图 ( a ) 表示数据接近于 直线，故宜采用线性函数 拟合；图(b)数据分布接近于抛物线。可采用二次多项式 拟合； (a) (b) 实用测量数据处理方法 图 ( c ) 的数据分布特点是开始曲线上升较快随后逐渐变慢,宜采用双曲线型函数 或指数型函数 图 ( d ) 的数据分布特点是开始曲线下降快,随后逐渐变慢,宜采用 或 或 等函数拟合。 ( c ) ( d ) 实用测量数据处理方法 例3 设某实验数据如下: 1 2 3 4 5 6 0 0.5 1 1.5