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数学高中联赛分类训练之三 函数方程（二） 2009 年8 月22 日 © 石家庄二中 1. 求所有的实数A 、B、C 使得存在一个实函数f ，满足对于任意的实数x,y 有 f (x f (y )) Ax By C （22 届北欧） 分析：令x z f (0), y 0 得到常数，证明函数f 是一次函数. 用待定系数法解出. 难 度一试，关键是找到“常数”突破口. 2. 设f (x ) x 2 ax b 为二次三项式，对任意的x R 都存在y R 使得 a f (y ) f (x ) y ，求 的最大值. （俄罗斯34 届） 分析：考虑f (y ) y f (x ) ，即x2 (a 1)x b y 2 ay b 恒成立，只需前者最小 1 值不大于后者最小值，解不等式得a  . 难度一试，关键是抓住最小值大小关系. 2 3. 求所有的函数f :Q Q ，使得对任意的x, y Q 有f (2f (x ) f (y )) 2x y （加拿大40 届） 分析：容易看出f (x ) x ，令x y 代入，得f (3f (x )) 3x ，再用x 3f (x ) 代换得 （利用两种不同顺序的拆开方式），进而得 . f (3f (3f (x ))) 9f (x ) f (9x ) f (0) 0 令x 0 代入，得到f (f (x )) x ，代入原方程得f (2x y ) 2f (x ) f (y ) ；令y 0 ， 得f (2x y ) f (2x ) f (y ) . 令x 2x 得f (x y ) f (x ) f (y ) . 由数学归纳法， 1 n f (nx ) nf (x ) ，进而推广到f ( ), f ( ) ，得到一次函数，代入得f (x ) x . n m 本题二试难度，亮点在于利用f 的嵌套和不同展开方式，将参数从函数里移到函数外， 得到柯西方程的形式. 细心不要丢掉f (x ) x 的非平凡解. a 4. 求所有的实数 ，使得存在非常数的函数f : (0,1]R ，对所有的x, y [0,1] 有 a f (x y xy) f (x) f (y)  f (x) f (y) （保加利亚2007 ） 2 1 1 2 1 分析：令x y 1，得a  f (1)  f (1) 2 f (1) ，故a  ( f (1)  )  . 由此猜 4 2 4 1 1 1 3 想a  . 分类讨论：当a  时，令f : (0,1] [ , a ] ，代入原式，由 4 4 2 4 1 3 1 1