W D1_4函数极限的性质与运算法则.pptVIP

第四节 定理3’: 推论 . 若在 二、 函数极限的运算法则 定理 5 . 若 定理 6 . 若 例3. 设有分式函数 例5 . 求 例6 . 求 一般有如下结果： 三、 复合函数的极限运算法则 例7. 求 例8 . 求 第一章 一、函数极限的性质 自变量变化过程的六种形式: 二、函数极限的运算法则 本节内容 : 机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数极限的性质与运算法则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、函数极限的性质 定理1（函数极限的唯一性） 如果 存在， 则这极限必唯一。 定理2 （函数局部有界性）如果 则存在常数 M0 和 ， 使得当 时， 有 。 定理3 . 若 且 A 0 , 证: 已知 即 当 时, 有 当 A 0 时, 取正数 则在对应的邻域 上 ( 0) 则存在 ( A 0 ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 若取 则在对应的邻域 上 若 则存在 使当 时, 有 分析: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 的某去心邻域内 , 且 则 证: 用反证法. 则由定理 3, 的某去心邻域 , 使在该邻域内 与已知 所以假设不真, (同样可证 的情形) 思考: 若 推论 中的条件改为 是否必有 不能! 存在 如 假设 A 0 , 条件矛盾, 故 机动 目录 上页 下页 返回 结束 则有 定理 4 . 若 机动 目录 上页 下页 返回 结束 推论: 若 且 则 利用保号性定理证明 . 说明: 定理 4 可推广到有限个函数相加、减的情形 . 提示: 令 则有 说明: 定理 4 可推广到有限个函数相乘的情形 . 推论 1 . ( C 为常数 ) 推论 2 . ( n 为正整数 ) 例2. 设 n 次多项式 试证 证: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 为无穷小 (详见P44) 且 B≠0 , 则有 证: 因 有 其中 设 无穷小 有界 因此 由极限与无穷小关系定理 , 得 为无穷小, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 x = 3 时分母为 0 ! 其中 都是 多项式 , 试证: 证: 说明: 若 不能直接用商的运算法则 . 例4. 若 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: x = 1 时 分母 = 0 , 分子≠0 , 但因 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 时, 分子 分子分母同除以 则 分母 “ 抓大头” 原式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 为非负常数 ) ( 如P43 例4.5 ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理7. 设 且 x 满足 时, 又 则有 证: 当 时, 有 当 时, 有 对上述 取 则当 时 故 ① 因此①式成立. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理7. 设 且 x 满足 时, 又 则有 说明: 若定理中 则类似可得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 P44, 注 解: 令 已知 ∴ 原式 = 机动 目录 上页 下页 返回 结束