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第一章复习 x.1 函数的极限及其连续性 概念：省略 注意事项 无界变量与无穷大的区别：无穷大量一定是无界变量，但无界变量不一定是无穷大量，例如，是无界变量，但不是无穷大量。因为取时，，当充分大时，可以大于一预先给定的正数；取时， 记住常用的等价形式 当时， 例1 当时，下列函数哪一个是其他三个的高阶无穷小 （A）。 （2）。 （3） （4）。 （） 解：因为，所以选择C 练习 解 若函数的表达式中包含有（或），则在运算前通常要在分子分母乘以其共轭根式（或），反之亦然，然后再做有关分析运算 例2 求。 解 当时， 又 ，故 练习 求 解 原式＝ 该极限的特点： 解题方法 若极限呈型，但第二个特点不具备，则通常凑指数幂使（2）成立 凡是型未定式，其结果：底必定是，幂可这样确定： 设，，则 这是因为 。 例3 求。 解 原式＝ 因为，所以原极限＝。 练习 求。 解 原式＝， 因为 几个常用的极限 特别地 x.2 单调有界原理 单调有界数列必有极限 此类问题的解题程序：（1）直接对通项进行分析或用数学归纳法验证数列单调有界；（2）设的极限存在，记为代入给定的的表达式中，则该式变为的代数方程，解之即得该数列的极限。 例4 已知数列：，求。 解 用数学归纳法可证得单调增加： ，显然。 假设成立，于是 即 成立。 显然，从而数列有极限，不妨设。 由于，两遍去极限得：，即， 即得出。 根据包号性的推论可知非负，所以。 X.3 项和的极限 求解方法: (1)利用特殊和式求和；（2）利用夹逼定理求极限（个项按递增或递减排列）； 例5 求 解 原式 例6 求。 解 因为， 而，由夹逼准则有 ＝1 X.4 项积的极限 分子、分母同乘以一个因子，使之出现连锁反应； 把通项拆开，使各项相乘过程中中间项相消； 夹逼定理 利用对数恒等式化为n项和形式。 例7 当时，求 解 原式＝ ＝ ＝ ＝ 练习 当时，求 解 原极限＝ ＝ 例8 求。 解 因为 X.5 有关闭区间上连续函数的命题的证明 证明方法有两种 直接法 其程序是先利用最值定理，再利用介值定理 例1 设在上连续，且，证明：在内至少存在一个使得 ，其中为任意正常数 证 因为在上连续 所以在上有最大值与最小值 由于，且，于是有 从而 即 。 由介值定理，在上至少存在一个，使得 间接法（己辅助函数法） 其程序是先作辅助函数，验证满足零值定理条件，然后由零值定理得出命题的证明。 辅助函数的作法： （1）把结论中的（或）该写成； （2）移项，使等式右边为零，令左边的式子为，此即为所求的辅助函数 例2 设在上连续，且，证明：在上至少存在一个，使得 。 证 令 显然，在上连续，注意到， 故 当时，可取为a或0，而当时，有 由零值定理可知存在一个，使得，即 X.6 极限的求法 约简分式的方法 求极限都是正整数） 有理化分子和分母 求极限 利用自然数求和 求极限 利用基本极限 求极限 利用基本极限 求极限 利用单调有界数列必有极限 求数列的极限 习题课一 例1 试用极限的“”定义证明：。 证 ，要使，只要 ，即。 因此，可取，那么对一切，恒有 即 。 例2 设，证明数列没有极限。 证 如果数列有极限，那么它的任何子列都有相同的极限。因此，若能找出的两个具有不同极限的子数列，便知没有极限。由于 ； ，因此数列没有极限。 例3 用“”定义证明：。 证 先限制，此时有 ，或，从而 ， 因此，，要使，只要，于是取，则当适合不等式时，对应函数值恒满足不等式 所以 。 例4 设，试确定常数和。 解 左式 上式要想极限为0，必须，又分母极限为所以，因此。 例 5 证明：。 证 因此 ，由及夹逼定理，即得 例6 设，证明数列的极限存在，并求其极限。 证 ，设，则 。 按归纳法可知，对任何的有，即为单调增加的数列。又按归纳法容易证明，故数列有界。因此有极限。 设，则，对关系式的两边取极限，便有 ，即，解得，因为，故，不合，因此，即 例7 设函数 在处连续，求常数得值。 解 由于函数在处连续，根据函数在一点连续的充要条件，应有 由于，依上式即有，从而得。 例8 证明：方程至少有一个不超过得根。 证 设函数，则又函数在闭区间上连续，故由介值定理有在开区间内至少存在一点，使得。即方程至少有一个不超过得根。 工科数学分析 1.8 实数的连续性 实数理论是极限的基础。 1.8.1 实数连续性