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考试要求： ①了解基本不等式的证明过程； ②会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题. ③能够利用基本不等式求一些特定函数的极值. 复习回顾 a a b b b 几何解释 1．重要不等式： * 算术平均数 几何平均数 几何解释 O a b D A C B 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 * 可以用来求最值(积定和最小，和定积最大) 结论：已知x, y都是正数. 1. 如果积xy是定值p,那么当x=y时, 和x+y有最小值2 ； 2. 如果和x+y是定值s, 那么当x=y时, 积xy有最大值 * 3.三个正数的基本不等式 类比得： 即：三个正数的算术平均不小于它们的几何平均. * ， * 基本不等式的应用 考点1.利用基本不等式求函数的最值问题 [例1] ( 1)已知点（x,y）在直线x+2y=3上移动，求 2x+4y的最小值; （2）已知x∈［0,1］，求函数y=3x-4x2的最大值; （3）x＞0,y＞0，且 ,求x+y的最小值. 注意条件：一正二定三相等 另注意:(1)项的配凑;(2)“1”的代换;(3)公式的变形. * （3）已知a1，b1，log2a·log2b=4，求ab的最小值. [练习1] * 例2 求函数 在 上的最大值. [练习2] （1）求函数 在 上的最大值. * 用均值不等式求函数的最值，是值得重视的一种方法，但在具体求解时，应注意考查下列三个条件： (1)函数的解析式中，各项均为正数； (2)函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； (3)函数的解析式中，含变数的各项均相等才能取得最值. 即用均值不等式求某些函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三相等。 小结： * [例].设矩形ABCD（ABAD）周长是24，把它关于AC折起来，AC折过去后交CD于点P，如图，设AB=x，求△ADP的最大面积及相应的x值. [点评]折叠问题要注意折叠前后位置与量的分析，哪些量不变，哪些量改变了，挖掘几何关系，需要把△的另一边也用x表示，把DP用x表示是解题的关键. 考点2.基本不等式在几何图形问题中的应用 * 练习. 如图，把一块边长是a 的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形,再把它的边沿着虚线折转作成一个无盖方底的盒子,问切去的正方形边长是多小时？才能使盒子的容积最大？ a x 题 * [例] 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3,深为3m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？ 分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中用到了均值不等式定理。 考点3.基本不等式在实际问题中的应用 * 解：设水池底面一边的长度为xm， 则水池的宽为  ,水池的总造价为y元，根据题意，得 因此，当水池的底面是边长为40m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元 评述：此题既是不等式性质在实际中的应用，应注意数学语言的应用即函数解析式的建立，又是不等式性质在求最值中的应用，应注意不等式性质的适用条件。 * [练习1]如图，教室的墙壁上挂着一块黑板，它的上、下边缘分别在学生的水平视线上方a米和b米，问学生距离墙壁多远时看黑板的视角最大? [点评] 求角的问题，联系起三角知识，求解三角形，出现x= 形式考虑用均值不等式.解题中通过恒等变换转化成可用均值不等式的形式也是一种重要能力. * [练习2]某商品计划两次提价，有甲、乙、丙三种方案，其中pq0 甲 p% q% 乙 q% p% 方案 次 丙 第一次提价 第二次提价 经过提价后,哪种方案提价的幅度较大?为什么? * 小结： 用均值不等式解决实际问题时，应按如下步骤进行： (1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数； (2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题； (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值； (4)正确写出答案. * 1 1 1 2 2 1 A B C D P E G * * 广东省阳江市第一中学周如钢 * 广东省阳江市第一中学周如钢