第2章_数值积分.pptVIP

第二章 数 值 积分 §1 机械求积 §2 牛顿-柯特斯公式 §3 龙贝格算法 §4 高斯型求积公式 §5 数值微分 ;1.1 数值求积的必要性 ;;;;;;（1.4）;其中;;;;0;;;;斯公式以及这些公式在实际计算时的用法。 2.1??牛顿-柯特斯公式 若将积分区间 [ a，b ] n 等分，取分点;;;;;n;;;求积公式（2.4）称为辛普生（Simpson）公式。其几何意义就是通过A, B, C 三点的抛物线 y =L2(x) 围成的曲边梯形面积近似地代替原曲边梯形面积（见图4-2）。 因此，求积公式（2.4）又名抛物线公式。求积公式（2.5）称为柯特斯公式。 梯形公式、辛普生公式和柯特斯公式，是三个最基本、最常用的等距节点下的求积公式。 下述定理给出了这些求积公式的余项为：;图 4-2;;; 当积分区间较大时，直接使用牛顿—柯特斯公式所得积分近似值的精度是很难得到保证的 在实际应用中，为了既能提高结果的精度，又使算法简便且易在电子计算机上实现，往往采用复化求积的方法 所谓复化求积，就是先将积分区间分成几个小区间，并在每个小区间上用低阶牛顿—柯特斯公式计算积分的近似值，然后对这些近似值求和，从而得到所求积分的近似值。 ;;;;; 证明 只对复化梯形公式（2.9）证明余项公式（2.12）和(2.15）. 先证（2.12）。由于 在 上连续，故由定理 2 知，对每 个小区间上积分 使用梯形公式时，所得近似值的误 差为 ，故 即 ;;故当 充分小时，（2.15）成立。 由余项公式（2.12）～（2.17）可以看出，只要所涉及的各阶导数在积分区间 上连续，则当 （即 ）时， 、 和 都收敛于积分真值 ，而且收敛速度一个比一个快。 定义2 对于复化求积公式 ，若当 时有 则称 是 p 阶收敛的。 定理4 复化求积公式（2.9）、（2 .10）和（2. 11）分别具有二阶、四阶和 六阶收敛性。 证明 由收敛性的定义，从（2.19）可以看出，复化梯形公式（2 .9）具有 二阶收敛性。同样，可证明复化辛普生公式（2 .10）和复化柯斯特 公式（2. 11）分别具有四阶和六阶收敛性。 对于一个数值求积公式来说，收敛阶越高，近似值 收敛到真值 的速度就越快，在相近的计算工作量下，有可能获得较精确的近似值。 ;例1 利用复化牛顿—柯特公式，计算 的近似值。 解 这里用两种方法进行计算。 先将积分区间 八等分（分点及分点处的函数值见表4-2），用复 化梯形公式得 再将积分区间 四等分，用复化辛普生公式得 ;; 两种方法都用到表4-2中九个点以上的函数值，它们的计算工作量基 本上相同，但所得结果与积分真值π=3··相比较，复化辛普生公 式所得近似值 远比复化梯形公式所得近似