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第一课 第一课 3. 球坐标系 坐标变量 坐标单位矢量 位置矢量 线元矢量 体积元 面元矢量 球坐标系中的线元、面元和体积元 球坐标系 （半平面） （圆锥面） （球面） 4. 坐标单位矢量之间的关系 直角坐标与 圆柱坐标系 圆柱坐标与 球坐标系 直角坐标与 球坐标系 o f x y 单位圆 直角坐标系与柱坐标系之间 坐标单位矢量的关系 f o q r z 单位圆 柱坐标系与求坐标系之间 坐标单位矢量的关系 q q 1.3 标量场的梯度 如果物理量是标量，称该场为标量场。 例如：温度场、电位场、高度场等。 如果物理量是矢量，称该场为矢量场。 例如：流速场、重力场、电场、磁场等。 如果场与时间无关，称为静态场，反之为时变场。 时变标量场和矢量场可分别表示为： 确定空间区域上的每一点都有确定物理量与之对应，称在该区域上定义了一个场。 从数学上看，场是定义在空间区域上的函数： 标量场和矢量场 静态标量场和矢量场可分别表示为： 标量场的等值面 等值面: 标量场取得同一数值的点在空 间形成的曲面。 等值面方程： 常数C 取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族； 标量场的等值面充满场所在的整个空间； 标量场的等值面互不相交。 等值面的特点： 意义: 形象直观地描述了物理量在空间 的分布状态。 标量场的等值线(面) 例1-1 求数量场φ =(x+y)2-z通过点M(1, 0, 1)的等值面方程。  解：点M的坐标是x0=1, y0=0, z0=1，则该点的数量场值为φ=(x0+y0)2-z0=0。其等值面方程为 或 2. 方向导数 意义：方向导数表示场沿某方向的空间变化率。 概念： —— u(M)沿 方向增加； —— u(M)沿 方向减小； —— u(M)沿 方向无变化。 M0 M 方向导数的概念 特点：方向导数既与点M0有关，也与 方向有关。 问题：在什么方向上变化率最大、其最大的变化率为多少？ —— 的方向余弦。 式中： 例1-2 求数量场 在点M(1, 1, 2)处沿l=ex+2ey+2ez方向的方向导数。  解：l方向的方向余弦为 而 数量场在l方向的方向导数为 在点M处沿l方向的方向导数 梯度的表达式： 圆柱坐标系 球坐标系 直角坐标系 3. 标量场的梯度（ 或 ） 意义：描述标量场在某点的最大变化率及其变化最大的方向 概念： ，其中 取得最大值的方向 标量场的梯度是矢量场，它在空间某点的方向表示该点场变化最大（增大）的方向，其数值表示变化最大方向上场的空间变化率。 标量场在某个方向上的方向导数，是梯度在该方向上的投影。 梯度的性质： 梯度运算的基本公式： 标量场的梯度垂直于通过该点的等值面（或切平面） 解 (1)由梯度计算公式，可求得P点的梯度为 例1.2.1 设一标量函数? ( x, y, z ) = x2＋y2－z 描述了空间标量场。试求： (1) 该函数? 在点 P(1,1,1) 处的梯度，以及表示该梯度方向的单位矢量。 (2) 求该函数? 沿单位矢量 方向的方向导数，并以点 P(1,1,1) 处的方向导数值与该点的梯度值作以比较，得出相应结论。 表征其方向的单位矢量 (2) 由方向导数与梯度之间的关系式可知，沿el 方向的方向导数为 对于给定的P 点，上述方向导数在该点取值为 而该点的梯度值为 显然，梯度 描述了P点处标量函数? 的最大变化率，即最大的方向导数，故 恒成立。 1.4 矢量场的通量与散度 1. 矢量线 意义：形象直观地描述了矢量场的空间分 布状态。 矢量线方程： 概念：矢量线是这样的曲线，其上每一 点的切线方向代表了该点矢量场 的方向。 矢量线 O M 例1-6 求矢量场 的矢量线方程。解： 矢量线应满足的微分方程为  从而有 解之即得矢量方程 c1和c2是积分常数。 2. 矢量场的通量 问题：如何定量描述矢量场的大小？ 引入通量的概念。 通量的概念 其中： ——面积元矢量； ——面积元的法向单位矢量；