构建三角函数刻画周期现象——任意角三角函数概念的教学反思.pdfVIP

2012年 第 51卷 第 1期 数学通报 25 构建三角函数刻画周期现象 — — 任意角三角函数概念的教学反思 王芝平 (北京宏志 中学 100013) 1 问题研究背景 以构建圆周运动的函数模型为 目的，笔者再一次实 笔者近期又系统研读了课程标准和与之配套的 施了“任意角的三角函数”的概念教学，取得 了较好 人教 A版教材，同时也研究了一些相关文献．从文献 的教学效果，获得了听课教师们的一致肯定．“一切 中得知，受传统习惯的影响，课改初期一些教师对任 数学教学法根本上都出于某一数学哲学”(Thom 意角三角函数的 “终边定义法”情有独钟 ，而对人教 语)，虽然 自己认为这样的设计优势 明显 ，课上得也 A版的“单位 圆定义法”采取排斥的做法 ，并提出种 比较顺利，但若从不同的视角分析，定有许多不当之 种拒绝的理由．u 处，故希望讨论、争鸣，甚至批评． “单位圆定义法”体现了 “三角函数是匀速旋转 2 课堂教学简述(课堂实录详见文[9]) 这个最简单的圆周运动的本质表现”，_2]既易学、好 2．1 创设情境 提出问题 懂 ，又为后续学习带来极大方便．而时至今 日，一些 在 “函数是描述客观世界变化规律的重要数学 教师即便认可 “单位圆定义法”，但仍对 “终边定义 模型之一”的先行组织下，向学生提出问题：客观世 法”难以割舍，表现在概念教学时从锐角三角函数出 界中存在着大量循环往复、周而复始的现象，如，圆 发 ，通过 “特殊与一般的关系”获得任意角三角函数 周运动就是一种具有这种周期现象的重要运动，其 的概念 ，或 “两法并用”L3卜[6]，或在任意角三角函数 特点是一个质点P绕圆心O作匀速圆周运动，那么 概念形成之前，通过构造直角三角形，借助 “锐角三 它的运动规律该用什么函数模型描述呢? 角函数”和解直角三角形，甚至通过测量，求得任意 2．2 构建模型 析出函数 角的终边与单位圆的交点坐标[7]，希望借此来增强 本环节主要围绕 “如何建立匀速圆周(单位圆) 任意角三角函数概念形成的 “合理性”．其实如此 “良 运动的数学模型”这一三角函数的本质展开，在现代 苦用心”未必能换来学生对任意角三角函数概念的 图形技术辅助下，通过恰时恰点的问题串，引导学生 本质领悟，而对细枝末节的过于纠缠反倒会冲淡对 经历 “任意角 —a的终边0Pl一单位圆上点P的横、 核心内容的理解，也易给学生造成定义任意角三角 纵坐标z，Y”的过程，使学生获得如下对应关系， 函数离不开锐角三角函数的错觉． 任意角a一唯一实数 X； ① 事实上，初中的锐角三角函数的定义是以直角 任意角a一唯一实数 Y． ② 三角形为载体，关注的是 “解决直角三角形的边角关 2．3 生成概念 恰当命名 系问题”，而对它的函数本质的认识并不作为重点， 学生确认①，②就是刻画圆周运动的函数模型， 锐角三角函数没有真正纳人到函数概念的系统中． 教师鼓励他们给这类重要函数一个正式的名称和简 所以，锐角三角函数并不是学习任意角三角函数的 单的记号．学生经过讨论，认为继续沿用余弦、正弦 “最近发展区”，从而以 “锐角三角函数”为起点的教 是比